四元玉鉴序

数一而已。一者，万物之所从始。故《易》，一，太极也。一而二，二而四，四而八，生生不穷者，岂非自然而然之数邪？河、洛图书泄其秘，《黄帝九章》著之书。其章有九，而其术则二百四十有六。始方田，终句股，包括三才，旁通万有，凡言数者皆莫得而逃焉。如《易》之大衍，《书》之秝象，《诗》之万亿及秭，《礼记》之三千三百，《周官》之三百六十。数之见于经者，盖不特《黄帝九章》为然也。自后世明算之科不设，而此学寝失其传。由是秝法之进退畸盈，农田之方圆曲直，以至斗、升、勺、合、豪、厘、丝、忽，往往皆不能尽其法者，又岂非古学之无传，而学者莫知所依据邪？燕山松庭朱先生，以数学名家周游湖海二十馀年矣，四方之来学者日众。先生遂发明《九章》之妙，以淑后学。为书三卷，分门二十有四，立问二百八十有八，名曰：《四元玉鉴》。其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，阴阳升降，进退左右，互通变化，错综无穷。其于盈绌隐互、正负方程、演段开方之术，精妙元绝。其学能发先贤未尽之旨。会万理而朝元，统三才而归极。乘除加减，钩深致远，自成一家之书也。方今尊崇算学，科目渐兴。先生是书行将大用于世。有能执此以往，则古人格物致知之学，治国平天下之道，其在是矣。有志于学者，可不服膺此书云。

大德癸卯上元日，临川前进士莫若序。

《黄帝九章》以降，算经多矣，不可枚举。唐宋设明算科，立法取士，不出《九章》《周髀》《海岛》《孙子》《张丘建》《夏侯阳》《五曹》《五经算》《缉古》《缀术》数家而已。然天、地、人、物四元罔有云及一者。厥后，平阳蒋周撰《益古》，博陆李文一撰《照胆》，鹿泉石信道撰《钤经》，平水刘汝谐撰《如积释锁》，绛人元裕细草之，后人始知有天元也。平阳李德载因撰《两仪群英集臻》，兼有地元。霍山邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰《乾坤括囊》，末仅有人元二问。吾友燕山朱汉卿先生，演数有年，探三才之赜，索《九章》之隐，按天、地、人、物立成四元。以元气居中，立天句、地股、人弦、物黄方，考图明之。上升下降，左右进退，互通变化，乘除往来，用假象真，以虚问实，错综正负，分成四式。必以寄之，剔之，馀筹易位，横冲直撞，精而不杂，自然而然，消而和会，以成开方之式也。书成名曰《四元玉鉴》。厘为三卷，以象三才；四元以象其时；分门二十有四，以象其气；立问二百八十有八，假象周天之数。玉者，比汉卿之德术：动则其声清越以长，静则孚尹旁达而不有隐翳。鉴者，照四元之形象：收则其缊昭彻而明，开则纵横发挥而曲尽妙理矣。汉卿名世杰，松庭其自号也。周流四方，复游广陵，踵门而学者云集。大德己亥编集《算学启蒙》，赵元镇已与之版而行矣。元镇者，博雅之士也。惠然又备已财，鸠工绣梓，俾之并行于世。前成始，而今成终也。好事之德奚可量哉！二书相为表里，不其韪欤属馀为引，馀详观之，有素所未尝接于耳目者。不用而用以之通，非数而数以之成。由是而知有数皆从无数中来。高迈于前贤，能尽其妙矣。明算君子据馀言试为细草，然后知诚而不妄也。于是乎书。

大德登科二月甲子，滹纳心斋祖颐季贤父序。

现存的最早介绍四元术的著作。元朱世杰仅传的两部杰作之一。1303年成书。3卷,24门,288问。该书系统阐述朱世杰的数学成就:四元术、垛积术、招差术。卷首“古法七乘方图”列出由(a+b)到(a+b)展式的全部系数,是北宋贾宪“开方作法本源图”的推广。“四象细草假令之图”举例说明一元到四元高次联立方程组的布算方法。在“假令四草”等6门中,共收多元高次方程组56题,详论其消元方法。朱世杰的消元法是当时的世界性成就,早于西方同类成果近500年。有的方程,其项数之多、系数之大、次数之高(15次)为前所未有。足见其布算和消元技巧已达炉火纯青之境地。对高阶等差级数求和,书中给出了三角垛公式、岚峰形垛公式等一系列重要公式,并用于解决具体问题。中卷“如象招数”门主要讲招差术,并将其运用于高阶等差级数求和,给出了包括四次差在内的招差公式。可以认为朱世杰实际上已掌握了任意高次招差法。比欧洲同类成果早近400年。美国已故著名科学史家萨顿(G.Sarton)赞誉《四元玉鉴》为“中国数学中最重要的一部,同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。”