九章録要卷三
欽定四庫全書
九章録要卷三
松江屠文漪撰
方田法
古九章一曰方田以御田疇界域今其書不𫝊特據所見近世之書芟其繁謬補其缺遺以意隸之云爾
方田長方田求積步 方田謂正方四面等者法以方自乗得積長方謂兩長兩廣各等者法以長乗廣
方長帶偏斜求積 似方與長方而稍偏斜者長不等則并兩長半之廣不等則并兩廣半之然後以長乗廣如偏斜甚者須裁令方正分别算之勿用此法又有方長田一邊斜者假如東長四十步西長四十一步南廣三十步北廣三十九步於法應得積一千三百九十七步四分步之一也然此乃謂四面俱偏斜者耳若止是西邊一面偏斜則從北廣東頭向西量之盡三十步止即向南直量之其長亦當四十步是田之大體本係長方獨北廣西頭盈九步句九股四十則弦四十一以斜弦為西長并東長而半之豈不謬乎法當并兩廣半之以長四十步乗之得積一千三百八十步斯不誤矣
三廣求積 三廣謂中及兩邊廣各不等者法倍中廣并入邊兩廣以四除之以中長乗之其中長亦須於兩三處量之如有不等者并而分之以為之長〈并三則三分四則四分〉邊長似斜弦之處勿量也 按田形不可窮盡善算者以意推之法無預設或贅為四廣五廣之法固已迂矣且其法云四廣并而四除之五廣并而五除之尤甚謬誤四廣須倍其中之兩廣并邊兩廣以六除之五廣須倍其中之三廣并邊兩廣以八除之乃合 又按廣形亦有須辨者如三廣而中廣近一邊不居正中者是也即須分别算之
句股求積 法以句乗股半之或以半句乗股或以半股乗句 按句股須量其弦以互求法推之與法合者是也若弦太長或太短即以三角算三角法兼可施之勾股勾股法不可施之三角
三角求積 法以一面之長乗中廣半之 假如三面長等者是真三角也率長七而中廣六不待量也不然則量中廣處須令如兩句股乃合〈三角率長七中廣六則中廣微强然所較甚微即依率算之可也〉
四角斜方求積 法以中長乗中廣半之 假如中廣兩角未必相對則中廣直徑不能與中長如十字矣但各自量之令如四句股者仍并兩句為一中廣以乗中長如上法
以上諸形皆屬方之類故長廣必直即遇斜弦其弦亦直如有一處彎曲若弧與睂之狀者别從圓之類求之乃無失也
員田求積 法以周自乗以十二除之或以徑自乗復以三乗之以四除之或以周乗徑或以半周乗半徑以四除之 按員物率周三而徑一然田員豈能中規其小偏者不妨以規員之法施之但將周徑並量參互折中亦可無誤若偏甚則勿以員論也〈員率周三徑一則周微强然所較甚微亦依率算之〉
環田求積 環田謂於員内減員者法并内外周半之以徑乗之半環倣此〈其徑勿據一處慮廣狹不等〉
弧矢求積 弧矢謂員田之半若張弓者法并弦長矢徑半之以矢徑乗之不及員之半者法亦如之過半者勿得用也凡矢徑半弦是員之半矢長則過矢短則不及〈不及員之半者如縱破長員之半若從而益之有可以成員之理者也過員之半者如横截長員之半無可以成員之理者也弧矢之法詳見少廣章本與員法相㑹合故惟有可員之理者乃得用之〉
棗核長員求積 棗核謂兩頭尖中廣處員者長員謂兩頭亦員者法半中廣并入中長以半廣乗之按二者雖不全員然是兩弧合并故其法即弧矢法而倍之也此法亦可施之員田但員法不可施之於此耳〈舊法棗核乃四角斜方 右一條新增〉
横截長員求積 形似弧矢而矢徑半弦有餘者固不可用弧矢法而可以弧矢法變通求之葢横截長員之半與縱破長員之半其積正等此之矢徑乃彼之半弦此之弦長乃彼之二矢也法四除弦并入矢徑以半弦乗之〈右一條新增〉
蛾睂牛角求積 蛾睂謂兩邊之長相隨而彎者牛角則横截蛾睂之半也睂有中廣無横廣角有一頭横廣無中廣其實同耳法并兩長半之以半廣乗之但牛角横廣一頭須畧似方形若太偏斜則横廣未足為準恐據以下算必浮於實積此又不可不知 以上諸形皆屬員之類若應員處乃直者别從方之類求之
畝步互求 二百四十乗畝得步二百四十除步得畝
九章録要卷三
十二卷。清屠文漪(生卒年不详)撰。屠文漪字莼洲,江苏松江人。《九章录要》体例与杜知耕 《数学钥》相似,以 《九章》为序,用实例阐发 《九章》诸术,参以新式算法。卷一与卷二主要介绍乘除诸法与零分法,以提高计算速度为目的,并辅以各种技巧;卷三至卷十一为《九章》内容,篇目俱对应于 《九章》各目,屠文漪多采录梅文鼎诸书,尤详于勾股,以廉隅之法研之,加以推阐,以尽其用;卷十二为借征法,为《九章》法外巧术,屠文漪认为:“盖借衰原于衰分,叠借原于盈朒,而触类通之可以穷难知之数。”这是作者独创之法。《四库全书总目提要》称:“考其所载,虽未极精密,然于借数之巧,固已得其大端矣。”该书版本为《四库》本;尚有两份手抄本,现存于南京大学图书馆与中科院自然科学史研究所。