九章錄要卷十
欽定四庫全書
九章錄要卷十
松江屠文漪撰
方程法
古九章八曰方程以御錯揉正負
二色方程例 假如綾五匹紗八匹共價銀二十四兩又綾七匹紗四匹共價二十二兩八錢問綾紗每匹價各㡬何法依所問列左右二行以綾五互乗綾七紗四及價所得數各注於其下〈綾得三十五紗得二十價得一百一十四〉亦以綾七互乗綾五紗八及價注所得數如前〈綾得三十五紗得五十六價得一百六十八〉兩綾數相對減盡兩紗數減餘〈三十六〉為法兩價數減餘〈五十四〉為實以法除實得紗每匹價一兩五錢乃就一行中以紗匹數乗價減共價餘以綾匹數除之得綾每匹價二兩四錢
按右例若以紗互乗即先得綾價於法皆通以後各例倣此
又按例以綾互乗則兩綾所得數必相對減盡矣立法之意正欲使兩綾數等而後價數之不齊由於紗數之不齊顯然可推也然旣知此義則以後凡同物相乘如綾之比者直可省之故槪不贅書惟於右一條具文見義云
又如七釵九鈿共重九兩四錢釵重鈿輕於中互换其一則輕重適等問釵鈿各重㡬何法依所問釵鈿互換其一以六釵一鈿一釵八鈿左右對列而中分其總重之數繫之兩行如前求之得一釵之重七錢一鈿之重五錢
二色方程兼正負例 假如賣米七石買麥三石米家得銀九兩六錢又賣米三石買麥九石米家出銀三兩六錢問米麥每石價各㡬何法以米為正麥為負米家所得之價為正米家所出之價為負列左右兩行如前若以米互乘麥及價者〈麥負九得六十三價負得二十五兩二錢麥負三得九價正得二十八兩八錢〉而麥數減餘〈五十四〉為法兩價數相并〈五十四〉為實以法除實得麥每石價一兩乃以麥負九石乘價減負價餘以米三石除之或以麥負三石乘價并正價以米七石除之得米每石價一兩八錢按負有背負之義謂正之反也亦有負欠之義此
例從米家賣米言之故賣米為正買麥為負米家所得之價為正所出之價為負若從麥家言者反是其并減之法此以兩正及兩負同名者相減一正一負異名者相并自互乗得數及已得一物之價而以其物數乗價與原正負價幷減求第二物之價皆然
二色正負反用并減例 凡互乗所得數固以兩正兩負同名相減一正一負異名相并為常法而亦有反用之者假如賣米五石麥五石得銀一十四兩賣米四石買麥七石出銀二兩問米麥每石價各㡬何此若以米互乗麥與價〈米係兩正同名〉則兩米相乘所得數自必相對減盡不待乗而可知矣兩麥兩價俱係正負異名其乘得數固宜相并如常法也〈麥正得二十麥負得三十五并得五十五價正得五十六價負得一十并得六十六〉若以麥互乗米與價〈麥係正負異名〉則兩麥相乘所得數乃須相并殊非立法之意故變通其法反以兩麥相減而兩米俱正同名反相并〈米五得三十五米四得二十并得五十五〉兩價正負異名亦反相減〈價正得九十八價負得一十減得八十八〉此其義何也賣米買麥而出銀猶之買米賣麥而得銀然則正可變為負負可變為正今不變其正負之名但變其并減之法此法之變生乎常而常變不殊其用者也且非特此也同名相減取其數之齊者以相比例而其餘之不齊可得而推故同減而異必并異名相減取其數之齊者以相償補而其餘之不齊亦可得而推故異減而同必并此法之變反乎常而常變各成其用者也依法求之得米每石價一兩六錢麥每石價一兩二錢自三色正負以上凡互乘所得數則兩法並用若已得一物之價而以其物數乗價與原正負價相并減求第二物之價者只依常法不在變通之例
按右所論同減異并異減同并明其所以然之故益見法之當然而不可易矣乃旣經并減後所得之數謂之正乎謂之負乎此在二色方程但取其數為法實以相除猶不必深辨也若三色以上而不分正負後更與他數相并減其道何由故特剖而論之曰凡并減雖兩行相對要以一行為主如以正并者〈為主之行繫正也〉得數仍為正以負并者得數仍為負也以正減者減而有餘〈為主之行有餘也〉則為正減而不足則為負以負減者減而有餘則為負減而不足則為正也此一定之理斷不容混耳更有為主之行無數而借相對之行所有數虛立於本行以為數者或遇應借而不知借或借而槩稱為負則非矣夫數豈可借盖實非借也試思兩正相減而此少彼多猶謂之負則此無彼有得不謂之負乎〈兩負相減亦然〉又試思以正幷負而此有正數猶取彼負以益之則此無正數得不取彼負以實之乎〈以負并正亦然〉故借正為負借負為正凡以同名互乘相減者固宜如是也若以異名互乗則亦當借正為正借負為負此皆自然之理施之於算無往不合者其要則曰同減異借異減同借兩言而已每見算家之書於已經并減之數及應借之數處之茫然莫能致辨於是誤在毫釐失之千里縱復强為牽合究且於率難通則方程之法或㡬乎廢矣兹因論并減異同而並暢其説然後以三色四色方程著例於左覽者當如觀火而自五色以上直可推之至於無窮也〈右一條新訂〉
三色方程例 假如綾五匹紗三匹紬五匹共價二十二兩五錢又綾四匹紗二匹紬七匹共價二十一兩又綾八匹紗六匹紬九匹共價三十九兩問三物每匹價各㡬何法依所問列左右中三行乃以左行中行綾互乘紗紬及價又以右行中行綾互乗紗紬及價所得數各注於其下次以中行左行相減且如左行為主〈或以中行為主亦可〉減得紗正八紬負二十價負一十二注左行之旁又以中行右行相減且如右行為主減得紗正二紬負一十五價負一十五注右行之旁〈圖式具後其左右中三行上中三層俱可互換耳〉
兩旁所注數即是二色方程再依二色法求之得紬每匹價一兩二錢紗每匹一兩五錢二價旣得綾價易見每匹二兩四錢〈按右例原數無正負因相減而有正負也若左例原數已兼正負則别為一條 又按方程章惟右一例不可用借徴法餘並可以借徴求之而條縷多者方程為便〉
三色方程兼正負例 假如綾五匹換紗三匹綾家得銀七兩五錢又綾四匹換紗二匹紬七匹綾家出銀一兩八錢又綾八匹換紬九匹綾家得銀八兩四錢問三物每匹價各㡬何法如前列左右中三行其一物而三行俱有者用以互乘餘物及價各注所得數空者闕之〈依後圖以上乗下為便故第一層三行俱實而空位則在下諸層也〉次以中行左行相并減且如左行為主借得紗正一十六減得紬正二十并得價正四十八又以中行右行相并減且如右行為主減得紗負二借得紬正三十五并得價正三十九注於兩旁
再以二色方程法求之〈物價同前例右一條新增〉
三色方程兼正負又例〈前法止於三色而已此法則四色五色所從出也〉 假如依前例綾正五紗負三價正七兩五錢綾正四紗負二紬負七價負一兩八錢綾正八紬負九價正八兩四錢求各物價法列三行如後圖式〈惟第一行第三層第三行第二層可虗可實餘必如圖〉專以第三行為主先以第三行紗互乗第一行綾紬及價以第一行紗互乗第三行綾及價各注所得數乃以第三行與第一行相并減借得紬正二十一減得綾負二并得價正二十兩零四錢次以第三行借紬互乗第二行綾及價以第二行紬互乗第三行綾及價〈就第一行互乗相并減之數而乗之非乗原數也〉各注所得數乃以第三行與第二行相并減減得綾正一百五十為法并得價正三百六十兩為實以法除實得綾每匹價以次求各價
又如行程顧騾一匹馬一匹共價錢七百又顧馬二匹驢一匹共價八百四十又顧騾一匹驢三匹共價七百問三物每匹顧値各㡬何法列三行如前以第三行與第一行互乗乃相并減借得馬負一驢無并減只用乗得之數價減盡不存次與第二行互乗第三行價已盡無乗闕之乃相并減并得驢正七為法借得價正八百四十為實以法除實得驢每匹價一百二十以次求各價驢每匹三百四十馬每匹三百六十
按此例三物及價俱正而云正負者三物中缺其一是乃所謂負也算家就物强分正負則謬之甚者又如依前所問更置其位先求一騾之力
又更置其位先求一馬之力〈此例算家誤甚故反覆以明之〉
〈右一條三式俱新訂〉
四色方程兼正負例〈四色五色以上皆與三色一法聊著此以見例云〉假如綾二匹紗七匹共價一十五兩三錢又紗 匹絹三匹共價九兩又絹五匹紬五匹共價一十一兩又紬四匹綾三匹共價一十二兩問四物每匹價各㡬何法列四行如後圖式乃依前法以第四行為主先與第一行互乘而并減之次第二行次第三行最後減得紬負一百五十五為法價負一百八十六為實以法除實得紬每匹價一兩二錢餘價次第求之綾每匹二兩四錢紗每匹一兩五錢絹每匹一兩
按自三色方程以上凡前諸行所有之物為末行所無者互乗後即借其乘得之數下層之價亦然如末行無價與第一行互乘而借其數或第一行亦無價則待至二三行互乘後有數而借之也若有數而減盡即彼此俱無數當於次行互乗後借之其末行所有之物為前諸行所無者無可并減末行只用互乗所得之數下層之價亦然〈右一條新訂〉
九章錄要卷十
十二卷。清屠文漪(生卒年不详)撰。屠文漪字莼洲,江苏松江人。《九章录要》体例与杜知耕 《数学钥》相似,以 《九章》为序,用实例阐发 《九章》诸术,参以新式算法。卷一与卷二主要介绍乘除诸法与零分法,以提高计算速度为目的,并辅以各种技巧;卷三至卷十一为《九章》内容,篇目俱对应于 《九章》各目,屠文漪多采录梅文鼎诸书,尤详于勾股,以廉隅之法研之,加以推阐,以尽其用;卷十二为借征法,为《九章》法外巧术,屠文漪认为:“盖借衰原于衰分,叠借原于盈朒,而触类通之可以穷难知之数。”这是作者独创之法。《四库全书总目提要》称:“考其所载,虽未极精密,然于借数之巧,固已得其大端矣。”该书版本为《四库》本;尚有两份手抄本,现存于南京大学图书馆与中科院自然科学史研究所。