九章錄要卷十一之三
欽定四庫全書
九章錄要卷十一之三
松江屠文漪撰
句股測望法
句股法所以施之測望而髙深廣逺所求不同且古人以表後人以矩其法亦小異也别詳於左
表測髙 城不知髙去城趾二丈五尺立表髙一丈却後距表五尺望城頭與表末齊人目髙四尺問城髙一率 五〈人足距表尺數 按若先知髙欲求逺者一二率互換而以城髙〉二率 六〈表減目髙尺數 減表為三率〉
三率 二十五〈表距城趾尺數〉
四率 三十〈求得尺數加表十尺得城髙〉
表式髙者約長十尺或八尺短者約長四尺或三尺其制薄而方廣二寸厚半之首平體直二面中心界墨就墨路垂線以權鎭之免令欹側表趺鑿空寸許鐵趾實之以便竪立測髙則用髙表測深與廣逺則用短表若測極逺立身髙處并用髙表至於人目至足尺寸不一且平視仰窺杪分輒移目足前後亦多難定酌用一身表約髙四尺其表端立一窺筩如荻管大長五六寸以竹與五金為之綴於表端設機仰俯目測更確
表測深 井不知深〈謂水靣以上至井口非謂水深也〉量井徑五尺以三尺表立井沿從表末俯望與下對靣水際相參直人目入井徑四寸問井深
一率 四〈目入井徑寸數〉
二率 三十〈表髙寸數〉
三率 四十六〈井徑減目入寸數〉
四率 三百四十五〈井深寸數〉
表測逺 江不知闊就江沿立表髙三尺八寸却後一丈六尺望表末與對岸水際相參直人目髙四尺問江闊
一率 二〈人目減表寸數〉
二率 一百六十〈人足距表寸數〉
三率 三十八〈表髙寸數〉
四率 三千零四十〈江闊寸數〉
又如大湖不知闊㡬何里湖濵有石壁直髙六十五丈即邊壁立表髙三尺八寸却後二丈五尺望表末與對岸水際相參直人目髙四尺問湖闊
一率 二〈人目減表寸數〉
二率 二百五十〈人足距表寸數〉
三率 六千五百三十八〈壁表相并寸數〉
四率 八十一萬七千二百五十〈湖闊寸數以里法三百六十歩歩法
五尺通之得四十五里一白四十五歩〉
兩表測廣 城墻不知東西之廣於城東北隅直北四十歩立東表於東表正西三十歩立西表乃從東表直北行二歩望西表與城西北角相參直問城廣一率 二〈人足距東表歩數〉
二率 三十〈兩表相距歩數〉
三率 四十〈東表距城歩數〉
四率 六百〈求得歩數加兩表間三十歩得廣〉
四表測逺 山不知逺近指山趾一石或樓閣樹木為標乃立左兩表前後相距十二歩與所指標相參直次從左兩表平行向右立右兩表三靣表間相距各十二歩却從右後表平行向右望右前表與所指標相參直人立處距右後表二尺問山石距前表逺一率 五之二〈立處距右後表尺數化為歩數〉二率 十二〈右兩表間歩數 按右例四表中間正方或作長方形亦可〉三率 十二前〈兩表間歩數 耳〉
四率 三百六十〈石逺歩數〉
按右諸例皆句股容方及容長方以餘句求餘股法亦以小句股比類求大句股也以下各例其理大畧皆同惟重測為稍異耳
四表測逺又法 山不知逺指山趾一石測之先立甲表從甲表望山石為大股次於甲表之右〈或左亦同〉任意逺近立乙表甲乙表間為大句〈句股之角須令正方下小句股同〉次於乙表之右後任意逺近立丙表與乙表及山石相參直乙丙表間為小句又於丙表之右前立丁表與甲乙表相參直丙丁表間為小股且如小句三歩小股二十四歩大句四十歩問山石去甲表逺
一率 三〈小句歩數〉
二率 二十四〈小股歩數〉
三率 四十〈大句歩數〉
四率 三百二十〈石逺歩數〉
兩表重測廣逺 方城隔水不知城東西廣㡬何及去城多逺遥對城東北隅之直北立東表於東表正西四十歩立西表齊人目處以索連之乃從東表直北行去表十七歩遙望城西北隅入索東端十歩又直北行去表七十二歩遙望城西北隅與西表相參合問城廣及去表逺法先求景差
一率 四十〈東西表相距歩數〉
二率 七十二〈後北行距表歩數〉
三率 一十〈入索歩數〉
四率 一十八〈景差歩數〉
次求城廣
一率 一〈前北行距表減景差餘歩數〉
二率 三十〈東西表相距減入索餘歩數〉
三率 一十七〈前北行距表歩數〉
四率 五伯一十〈求得歩數加表間四十歩得城廣〉次求城逺
一率 一〈同上〉
二率 五十四〈後北行距表減景差餘歩數〉
三率 一十七〈同上〉
四率 九伯一十八〈城逺歩數〉
重表測高逺 海中有島不知高逺立二表各髙一丈二尺前後參直相距一百六十歩從前表退行六十九歩三尺望島峰與前表端齊又從後表退行七十歩望島峰與後表端齊人目高三尺問島高
一率 二〈前後退行距表歩數相減餘尺數〉
二率 九〈表減人目髙尺數〉
三率 八百〈前後表相距歩數化為尺數〉
四率 三千六百〈求得尺數加表十二尺得島高〉次求島去前表逺
一率 二〈同上 按例若以後退行距表歩數為三率即得島去後表逺也〉二率 八百〈同上〉
三率 三百四十八〈前退行距表歩數化為尺數〉四率 一十三萬九千二百〈島逺尺數〉
按右例與前兩表測廣逺其理本同前兩表間横索以測廣此竪表以測髙無以異也但前兩表横索只如一表而距表或近或逺以再測之此用前後表兩測之其法小異耳然前例若於前兩表之北相距五十四歩更立後兩表横索如前而北行距東後表十八歩望城西北隅亦當入索十歩則置東西表間四十歩不算竟以入索十歩為準而前北行十七歩後北行十八歩前後表間五十四歩與右例全無異矣所求景差即是移表向後通其意者法皆一貫也
矩測髙 城不知髙距城趾二丈四尺以矩測之目窺通光與城頭相參直權線在直景八度人目高四尺問城高
一率 八〈直景度 按矩測與表同理若已知髙欲求逺者亦以一二率互換而以〉二率 十二〈矩度 城髙減目為三率也〉
三率 二十四〈距城尺〉數
四率 三十六〈求得尺〉數〈加目高四尺得城髙〉又如牆不知髙距墻址三丈如法測之權線在倒景八度人目髙四尺問牆高
一率 十二〈矩度〉
二率 八〈倒景度〉
三率 三十〈距墻尺數〉
四率 二十〈求得尺數加目高四尺得牆髙〉
矩式以銅版或堅木為四角正方形與楸枰相似甲角乙角立兩耳各通一竅名曰通光以便窺望若不設兩耳即立相等兩小表或安一通光之管皆可甲角為矩極系線任其下垂以權鎭之甲角至丙角斜界一墨路分矩靣為兩乃自乙至丙角分直景度丁角至丙角分倒景度度各十二界墨匀分墨路俱從邊起望矩極斜行毎度或更分為三分五分至十二分愈細則法愈宻矣用時甲昻乙低測髙目切乙角測深與逺目切甲角窺通光與所測物相參直任權線下垂値何度以算推之
共矩用手持未免動搖又目足游移不易審定宜製一表髙四尺或五尺置矩其上轉動以機至測廣别是一法以矩平置之若向南測物身在東偏則令通光與東角相參直斜望西角入矩何度乃依法推算但目望西角取準亦難宜更立一短表斜向前數尺與西角參直然後引矩極之線屬之表端視線切何度方為精審 直景者句景也倒景者股景也持矩向日令日光正穿通光之兩竅若權線適在兩景中間是為句股平分即各物在地之景皆與其物之高等若在直景度則景必較短在倒景度則景必較長此二景之義也〈假如在直景四度為矩度三之一則凡物景皆當其物三之 在倒景四度則凡物皆當其景三之一故可量物景以測其髙亦可從物髙以測其景量景測髙畧同前測髙例從髙測景畧同後測逺例〉今以矩向所求物測望者則亦可前却其歩使權線適在兩景中間旣句股平分知句即得股知股即得句矣其不然者分别兩景算之如當以直景度為一率矩度為二率而遇倒景則以矩度為一率倒景度為二率也〈亦可變倒景為直景而仍為一率然不如一二率易位之便〉其當以倒景度為一率者倣此更有重測之術以前後測所値景度之較為一率而使當直得倒當倒得直則必須變倒為直或變直為倒其變之法以矩度自乗為實以所値度為法除之即得變度如倒景三度以矩度自乗得一百四十四為實以三為法除之得四十八為直景度如倒景六度五分度之二以除一百四十四得二十二度二分度之一為直景度也變直為倒亦如之
矩測深 井不知深量井徑五尺以矩測之目窺通光與近身井沿及對靣水際相參直權線在直景三度問井深
一率 三〈直景度〉
二率 十二〈矩度〉
三率 五〈井徑尺數〉
四率 二十〈井深尺數〉
又如池不知深已知池徑二丈四尺如法測之權線在倒景七度問池深
一率 十二〈矩度〉
二率 七〈倒景度〉
三率 二十四〈池徑尺數〉
四率 一十四〈池深尺數〉
矩測逺 溪不知闊溪岸直髙八尺人立岸邊以矩測之通光與對岸水際相參直權線在倒景三度人目髙四尺問溪闊
一率 三〈倒景度〉
二率 十二〈矩度〉
三率 十二〈人目溪岸并尺數〉
四率 四十八〈溪闊尺數〉
矩測廣 城牆不知東西之廣於城東北角直北相距三十歩以矩測之通光與城東北角相參直斜望西北角入矩倒景一度五分度之一問城廣
一率 六〈倒景度通為分數〉
二率 六十〈矩度通為分數〉
三率 三十〈距城歩數〉
四率 三百〈城廣歩數〉
重矩測髙逺 山不知髙逺以矩測之通光與山頂相參直權線在倒景九度却後直行距前測處八十歩如前測之權線在倒景八度人目髙四尺問山高一率 二〈兩倒度俱變直度相減餘度數〉
二率 十二〈矩度〉
三率 四百〈兩測處相距歩數化為尺數〉
四率 二千四百〈求得尺數加目四尺得山髙〉次求山去前測處逺
一率 二〈同上〉
二率 四百〈同上〉
三率 十六〈前測倒度變為直度〉
四率 三千二百〈山逺尺數〉
按重矩測廣逺者依前測廣法而重之遇直景皆變為倒景其列率則與重表測髙逺同盖横為廣竪為髙一理也知此可以通彼不復為例
重矩測深逺 石壁濵江人立壁上不知横截江水其逺㡬何及石壁直下至水面㡬何深者邊壁竪木木旁垂繩以取端直乃於石上附木用矩測之令通光與垂繩相並斜望對岸水際入矩倒景四度五分度之二却升髙去前測處一丈如前測之入倒景四度五分度之四問水逺
一率 二〈兩倒景相減餘分數〉
二率 六十〈矩度通為分數〉
三率 一十〈兩測處相去尺數〉
四率 三百〈水逺尺數〉
次求前測處至水靣深
一率 二〈同上〉
二率 一十〈同上〉
三率 二十二〈前測倒度通為分數〉
四率 一百一十〈壁深尺數〉
按此乃以測廣法測逺以測逺法測深也法無多端特用有變化耳〈右一條新訂〉
半矩尺測逺 溪不知闊就溪沿立表髙五尺以矩尺綴表端矩角與表端齊從矩角望矩外端與對岸水際相參直乃回望矩内端所指處平地去表四寸問溪闊
一率 四〈尺指處距表寸〉數
二率 五十〈表高寸數〉
三率 五十〈同前〉
四率 六百二十五〈溪闊寸數〉
按半矩尺若於兩端俱畫分寸以測高深廣逺亦與矩度及表相類而不如矩表之便故略而不論此特取其簡易者附矩表之後云更有水景測高法置盂水〈或用鏡亦同〉稍推移之令人目見所測物景正當水之中心乃以人目至足為小股人足至水心為小句水心距所測物之趾為大句以求大股又有日景測髙法量所測物景别立短表量其景乃以表高為小股表景為小句物景為大句以求大股二法若遇逺峰遙島旣不免於技窮而且目取水心之景則分寸易差日當隂晦之時則測量恐廢俱非通術吾無取焉
九章錄要卷十一之三
十二卷。清屠文漪(生卒年不详)撰。屠文漪字莼洲,江苏松江人。《九章录要》体例与杜知耕 《数学钥》相似,以 《九章》为序,用实例阐发 《九章》诸术,参以新式算法。卷一与卷二主要介绍乘除诸法与零分法,以提高计算速度为目的,并辅以各种技巧;卷三至卷十一为《九章》内容,篇目俱对应于 《九章》各目,屠文漪多采录梅文鼎诸书,尤详于勾股,以廉隅之法研之,加以推阐,以尽其用;卷十二为借征法,为《九章》法外巧术,屠文漪认为:“盖借衰原于衰分,叠借原于盈朒,而触类通之可以穷难知之数。”这是作者独创之法。《四库全书总目提要》称:“考其所载,虽未极精密,然于借数之巧,固已得其大端矣。”该书版本为《四库》本;尚有两份手抄本,现存于南京大学图书馆与中科院自然科学史研究所。