卷三上
钦定四库全书
数学钥卷三上
柘城杜知耕撰
粟布
一则
籴粜一法
设粟三十五石每石价银二钱五分求共银法曰置粟为实以价乘之得八两七钱五分即所求
二则
籴粜二法
设粟三十五石卖银八两七钱五分求每石价法曰置银为实以粟除之得二钱五分即所求
三则
籴粜三法
设粟每石价银二钱五分今有银八两七钱五分求值粟法曰置银为实以价除之得三十五石即所求四则
籴粜四法
设银八两七钱五分共买粟三十五石求每银一两值粟若干法曰置粟为实以银除之得四石即所求解曰凡以物交易或论个论斛论斤论尺之类莫不有数有价以价乘共物则得共银以价除共银则得共物以共物除共银则得每一物所值之价以共银除共物则得每银一两或一钱或一分所值之物交易常用之法尽于此矣
五则
籴粜五法
设原有粟二石六斗卖银六钱五分今有粟三十五石求值银法曰置今粟为实以原价乘之【得二十二两七钱五分】以原粟除之得八两七钱五分即所求
解曰此异乘同除也银与粟异名以原银乘今粟故谓异乘粟与粟同名以原粟除今粟故谓同除若以原粟除原价得每石价以乘今粟或先以原粟除今粟再以原价乘之俱未尝不合但先用归除恐遇奇零不尽之数难用乘法故变为先乘后除也
六则
籴粜六法
设原有银三十两零七钱五分买粟一百二十三石今有银八两七钱五分求值粟法曰置今银为实以原粟乘之【得一千零七十六两二钱五分】以原银除之得三十五石即所求
解同前
七则
籴粜七法
设原银五钱买米一石每米八斗五升换粟一石七斗今有银八两七钱五分求值粟法曰以今银八两七钱五分乘粟一石七斗【得一十四两八钱七分五厘】为实以米价五钱乘米八斗五升【得四钱二分五厘】为法除之得三十五石即所求
解曰米八斗五升粟一石七斗其价等法以米价乘米所得之四钱二分五厘既为八斗五升之米价亦一石七斗之粟价也以粟乘银以价除之亦异乘同除法也
八则
籴粜八法
设粟一石七斗换米八斗五升每米一石价银五钱今有粟三十五石求值银法曰置米八斗五升以米价五钱乘之【得四钱二分五厘】再以今粟三十五石乘之【得一十四两八钱七分五厘】为实以粟一石七斗除之得银八两七钱五分即所求
解同前
九则
撞换一法
设稻每石价六钱二分五厘粟每石价二钱五分今有稻一十四石换粟求粟数法曰置稻一十四石为实以稻价乘之【得八两七钱五分】以粟价除之得三十五石即所求
十则
撞换二法
设每菽三斗换黍二斗每黍四斗换稷三斗每稷五斗换稻四斗每稻六斗换麦五斗今有麦七斗换菽求菽数法曰以今麦七斗乘每稻六斗【得四石二斗】再以每稷五斗乗之【得二十一石】再以每黍四斗黍之【得八十四石】再以每菽三斗乘之【得二百五十二石】为实以换黍二斗乘换稷三斗【得六斗】再以换稻四斗乘之【得二石四斗】再以换麦五斗乘之【得一十二石】为法除之得二石一斗即所求解曰若置麦七斗为实以换麦五斗除之以每稻六斗乘之得八斗四升为麦七斗应换之稻再以八斗四升为实以换稻四斗除之以每稷五斗乘之得一石零五升为麦七斗应换之稷再以一石零五升为实以换稷三斗除之以每黍四斗乘之得一石四斗为麦七斗应换之黍再以一石四斗为实以换黍二斗除之以每菽三斗乘之得二石一斗为麦七斗应换之菽凡四除四乘方得菽数今逓乘为实逓乘为法一次归除即得所求非徒省力亦免遇畸零之数难于布算耳
十一则
撞换三法
设黍一石换菽三石每黍三石换麦一石今黍三十三石共换菽麦一十九石求菽麦各若干法曰列黍
三石黍一石共黍
三十三石于左列
麦一石菽三石共
菽麦一十九石于
右先以右上互乘
左中【仍得一石】以左上互乘右中【得九石】两数相减【余八石】为长法次以左中互乘右下【仍得一十九石】以右中互乘左下【得九十九石】两数相减【余八十石】以长法除之【得一十石】为短法以麦一石乘短法仍得十石为麦数以黍三石乘短法得三十石为换麦黍数以麦数减共菽数余九石为菽数以换麦黍数减共黍余三石为换菽黍数【解见三卷下十七则】
十二则
盘量仓窖
设直仓底长七尺濶五尺高八尺求容粟数法曰以底濶乘长【得三十五尺】再以高乘之【得二百八十尺】为实取木板四块如图错综合之令纵广及高各一尺纳粟于内令平以升量之假如一斗二升即以之为法乘实得
三十三石六
斗即所求
解曰仓窖形
状不一求积
法俱详四卷
十三则
布帛
设原买布长四十尺濶二尺二寸价银七钱五分今有布长三十六尺濶一尺八寸求价法曰置今布长三十六尺以濶一尺八寸乘之【得六十四尺八寸】再以原价七钱五分乘之【得四十八两六钱】为实另置原布长四十尺以濶二尺二寸乘之【得八十八尺】为法除实得五钱五分二厘二毫有奇即所求
十四则
银色一法
设九三色银一两二钱倾销足色求银数法曰置银一两二钱为实以银色九三乘之得一两一钱一分六厘即所求
十五则
银色一法
设足色银一两一钱一分六厘改倾九三色求银数法曰置银一两一钱一分六厘为实以九三除之得一两二钱即所求
十六则
银色三法
设八五色银五两六钱改倾九五色银求银数法曰置银五两六钱为实以八五乘之【得四两七钱六分】再以九五除之得五两零一分零五毫即所求
十七则
银色四法
设足色银七两六钱五分倾成九两求银色法曰置银七两六钱五分为实以九两除之得八五即所求十八则
银色五法
设足色银三十五两二钱改倾八八色银求加铜数法曰置银三十五两二钱为实以八八除之【得四十两】与原银相减余四两八钱即所求
十九则
银色六法
设倾八八色银用铜四两八钱求用银数法曰置铜四两八钱为实以八八与一两相减余一钱二分为法除之【得四十两】与铜数相减余三十五两二钱即所求二十则
斤两一法
设物重一千四十两求斤法曰置物重为实以斤法十六除之得六十五斤即所求
二十一则
斤两二法
设物重六十五斤求两法曰置物重为实以斤法十六乘之得一千四十两即所求
二十二则
斤两三法
设物重六十五斤四两每斤价二钱五分求共价法曰先取四两以斤法十六除之【得二五】并六十五斤之下【成六五二五】为实以价乘之得一十六两三钱一分二厘五毫即所求
二十三则
斤两四法
设物每斤价二钱五分今银一十六两三钱一分二厘五毫求值物重法曰置今银为实以价为法除之得六十五斤二五取斤下二五以斤法十六乘之得四两共六十五斤四两即所求
二十四则
斤两五法
设物每斤价四两求每两价法曰置每斤价为实以斤法十六除之得二钱五分即所求
二十五则
斤两六法
设物每两价二钱五分求斤价法曰置每两价为实以斤法十六乘之得四两即所求
二十六则
权重一法
设秤原锤重二十六两遇重物不能胜另取一物重四十六两八钱作锤秤之得一千零七十二两求物重真数法曰置物重一千零七十二两为实以借用作锤之四十六两八钱乘之【得五万零一百六十九两六钱】再以原锤二十六两除之得一千九百二十九两六钱即所求
解曰借用之锤重于原锤若干倍则借用之锤所秤之物重亦重于原锤所秤之物重若干倍以原锤除借用之锤得一八是借用之锤重于原锤十分之八也则于借用锤所秤之一千零七十二两以十分之八加之必得一千九百二十九两六钱为原锤所秤之重法先乘后除者亦异乘同除也【本卷五则】
二十七则
权重二法
设秤失其锤止有原秤过轻重二物重者重一千九百二十九两六钱轻者重四十六两八钱以轻者作锤秤重者得一千零七十二两求原锤重法曰置四十六两八钱为实以一千零七十二两乘之【得五万零一百六十九两六钱】以一千九百二十九两六钱除之得二十六两即所求
解曰一千九百二十九两六钱之与一千零七十二两若四十六两八钱之与原锤也故以之乘除得原锤之重
二十八则
权重三法
设秤失其锤有轻重两物不知斤两以轻者作锤秤重者得五十二两以重者作锤秤轻者得一十三两求原锤重法曰置两数相乘【得六百七十六两】平方开之得二十六两即所求
解曰两数之中率即原锤之重两数相乘平方开之求中率之法也【二卷十六则】○又法以等重二物一作锤一作物秤之所得之数即原锤之重○按以上三法用之于平星提索同居一位之秤虽有微差尚可得近似之数至于平星提索不同一位相去愈逺其差愈多甚至与真数悬絶留心此道者不可不知也数学钥卷三上
六卷。清杜知耕(生卒年不详)撰。杜知耕字端甫,号伯瞿,河南柘城人,自幼好学,熟读天文历算书。康熙二十六年 (1687) 举人。1681年著《数学钥》,1700年著 《几何论约》,均收入 《四库全书》。《数学钥》以 《九章算术》章目为序,按线、面、体三部之法隶之,用通俗语言与直观图形诠释《九章》,体例与《九章》相同。该书每卷之首标注凡例,以实例问答形式阐述算法,辅以必要图形,以例引述,寓法于算,触类旁通,清晰易懂,且于每问之下附著其理,颇受西法影响。梅文鼎在《勿庵历算书记》中称:“杜端甫数学钥,图注九章,颇中肯启,可为算家程式。”该书版本除《四库》本外,有1681年杜氏式好堂刊本,现存北大图书馆;1898年上海算学书局石印本《古今算学丛书》本; 1916年开封荣兴斋石印本。