九章録要卷四
欽定四庫全書
九章録要卷四
松江屠文漪撰
粟米法
古九章二曰粟米以御交質變易
方倉窖求積尺 法以方自乗復以髙乗之〈窖則當以深乗只言髙者統於倉也深亦髙也〉得積
長方倉窖求積 法以長乗廣復以髙乗之
員倉窖求積法以員周自乗復以髙乗之以員周率十二除之或以徑自乗復以髙乗之以員徑率三乗之四除之
長員倉窖求積 法半中廣并入中長以半廣乗之復以髙乗之〈此法亦可用之員倉窖而員法不可用之長員 右一條新增〉
方平堆求積〈凡窖形上下之大小不等者亦倣此法下三條同〉 法以上方自乗又以下方自乗又以上方乗下方并三數以髙乗之以三除之〈因并三數故須三除也〉
長方平堆求積 法倍上長加下長以上廣乗之又倍下長加上長以下廣乗之并二數以髙乗之以六除之〈并二數中凡有六數故用六除此法亦可用之方平堆也〉
員平堆求積 法以上周自乗又以下周自乗又以上周乗下周并三數以髙乗之以三十六除之〈并三數應三除員周率十二除故用三十六除也〉
或以上徑自乗又以下徑自乗又以上徑乗下徑并三數以髙乗之以四除之〈并三數應三除員徑率三乗四除以三乗當三除並省之故只用四除也〉
長員平堆求積 法先半中廣并入中長以為長半中廣以為廣〈上下之中廣中長俱依此法並不用原廣原長〉然後倍上長加下長以上廣乗之又倍下長加上長以下廣乗之并二數以髙乗之以六除之〈此法亦可用之員平堆而不如前法之捷 右一條新增〉
方尖堆求積 法以下方自乗復以髙乗之以尖率三除之
長方尖堆求積法以下廣乗下長復以髙乗之以尖率三除之〈右一條新增〉
長方平尖堆求積〈既云尖又云平者無上廣而有上長従横頭視之則尖從縱之旁面視之則平故曰平尖〉 法倍下長加上長以下廣乗之復以髙乗之以六除之〈此用六除者何也試從上長兩頭盡處向下直截之而以兩頭合成尖堆别算其義自見葢下長多於上長之數乃尖堆之下長所當以下廣乗之而用尖率三除者也其與上長相等之下長所當以下廣乗之而折半者也今既統下長之全數而倍之則為尖堆之下長者有二二用六除猶一用三除也為上長相等之下長亦二又加上長成三三用六除猶一用折半也〉
按此與平堆異者以其無上廣故用平堆法之半而亦以六除之此與尖堆異者以其有上長而尖堆既無上長可加則但倍下長以乗下廣以六除之於法亦通乃知數之相準而法之可以相推有如此者〈右一條新增〉
員尖堆求積法以下周自乗復以髙乗之以員周率并尖率三十六除之〈員周率十二尖率三故其率三十六〉或以下徑自乗復以髙乗之以員徑率并尖率四除之〈尖率應三除員徑率三乗四除亦以三乗三除相當省之故只用四除〉
長員尖堆求積 法半下中廣并入中長以半廣乗之復以髙乗之以尖率三除之〈右一條新增〉
倚壁員尖堆求積 員尖之半也法以下周自乗復以髙乗之以倚壁率十八除之
内角員尖堆求積 員尖四之一也法以下周自乗復以髙乗之以内角率九除之
外角員尖堆求積 員尖四之三也法以下周自乗復以髙乗之以外角率二十七除之
按右三條算家沿習有此然必先取周徑較量果恰得員尖二之一四之一四之三而後其法可施耳如或不然則當以長員法及尖堆率參酌求之又方尖亦宜有倚壁内外角之法通於算理者自可意推也凡平堆尖堆法所云以髙乗之者並指直髙而言
非謂斜髙也如直髙不便量者量斜髙以求直髙而算之〈法見商功章〉 又凡平堆尖堆斜髙之處雖不據以立算然亦必如句股之弦乃合於法彎曲者則否
方倉以積與方求髙與髙求方 法以方自乗數除積得髙以髙除積開方得方
長方倉以積及髙與廣求長與長求廣 法以髙長相乗數除積得廣以髙廣相乗數除積得長〈若以積與長廣求髙其理易見不復贅〉
員倉以積與周徑求髙與髙求周徑 算周者以員周率十二乗積算徑者以員徑率四乗三除積乃用方倉法
長員倉以積及髙與廣求長與長求廣 法以髙與半廣相乗數除積減半廣得長以髙除積以長為帶縱開平方除之得半廣倍之得廣〈其方員長方員尖堆但加尖率三乗餘並同上四法不復贅〉
方平堆以積及髙與上方求下方與下方求上方 法以三乗積以髙除之乃減上方自乗數以上方為帶縱開平方除之得下方減下方自乗數以下方為帶縱開平方除之得上方
員平堆以積及髙與上周徑求下周徑與下周徑求上周徑 算周者以三十六乗積算徑者以四乗積並再以髙除之乃減上周自乗數以上周為帶縱開平方除之得下周餘倣此
石尺互求 舊法立方二尺五寸為一石〈立方一尺者二有半也〉故以二又二之一乗石得尺以二又二之一除尺得石然斛尺各隨時地不同須臨算較量損益其法未可一概也
竹席圍米求積 假如竹席大小相等原用兩席合作圍貯米二十石今用三席合作圍問貯米幾何法以原席二自乗得四為一率原米石數為二率今席三自乗得九為三率求得四率四十五為今貯米石數
九章録要卷四
十二卷。清屠文漪(生卒年不详)撰。屠文漪字莼洲,江苏松江人。《九章录要》体例与杜知耕 《数学钥》相似,以 《九章》为序,用实例阐发 《九章》诸术,参以新式算法。卷一与卷二主要介绍乘除诸法与零分法,以提高计算速度为目的,并辅以各种技巧;卷三至卷十一为《九章》内容,篇目俱对应于 《九章》各目,屠文漪多采录梅文鼎诸书,尤详于勾股,以廉隅之法研之,加以推阐,以尽其用;卷十二为借征法,为《九章》法外巧术,屠文漪认为:“盖借衰原于衰分,叠借原于盈朒,而触类通之可以穷难知之数。”这是作者独创之法。《四库全书总目提要》称:“考其所载,虽未极精密,然于借数之巧,固已得其大端矣。”该书版本为《四库》本;尚有两份手抄本,现存于南京大学图书馆与中科院自然科学史研究所。