九章錄要卷九
欽定四庫全書
九章錄要卷九
松江屠文漪撰
盈朒法
古九章七曰盈朒亦曰盈不足以御隱襍互見
盈不足例 假如衆人分帛每人六匹盈七匹每人八匹不足九匹問人數帛數各㡬何法以盈不足數相并為人實以分數互乗盈不足數相幷為帛實乃以分數相減之較為法除人實得人數八除帛實得帛數五十五 按盈不足數及分數互乗盈不足數俱相并若遇兩盈兩不足即相減惟以分數相減之較為法則諸例皆同都不用并也
又按右例若止求人數以乗分數而以盈不足數加減算之亦得帛數即不用互乗之法可也以下諸例倣此
又如田形長方欲於中截分一段截長七歩不足七歩截長九歩盈十一歩問原闊歩及所截積歩各㡬何法以盈不足數相幷為原闊之實以截長數互乗盈不足數相幷為截積之實俱以截長之較為法除之得原闊歩九截積歩七十
又如絹一匹作帳摺成六幅比舊帳長六寸摺成七幅比舊帳短四寸問舊帳幅新絹各長㡬何法先以幅數各乗長短數以為盈不足數〈六幅共盈三十六寸七幅共朒二十八寸不以六寸四寸為盈朒數也〉然後以盈不足數相并為舊帳幅實以幅數互乗盈不足數相并為新絹實俱以幅數之較為法除之得舊帳幅長六尺四寸新絹長四丈二尺
又如井不知深〈謂水面以上至井口非謂水深也〉將繩摺作三股入井汲水餘繩四尺摺作四股入井餘繩一尺問井深繩長各㡬何法先以股數各乗餘繩數以為兩盈數〈與上帳幅例同〉然後以兩盈數相減為井實以股數互乗兩盈數相減為繩實俱以股數之較為法除之得井深八尺繩長三丈六尺
又如官米不知其數甲乙二等户並輸乙户所輸當甲户十之八令甲等八户乙等五戸輸之不足三石令甲等六户乙等八戸輸之不足一石問二等户輸米則例及官米總數各㡬何法先以甲乙二等衰各乗户數依問所列并之以為輸數〈此兼用衰分之法甲衰十乗八户乙衰八乗五户并得一百二十甲衰十乗六户乙衰八乗八户并得一百二十四為輸數不以原户數為輸數也〉然後以兩不足數相減為則例之實以輸數互乗兩不足數相減為總米之實乃以輸數之較為法除則例實以二等衰各乗之得二等戸輸米則例甲每户五石乙每户四石〈按以法除則例之實當得則例之數而此條乃不同者前旣以甲户乗衰作十數乙户乗衰作八數則此除得之數僅得甲户十之一乙户八之一故須以二等衰各乗之而後二等則例皆得也〉又以輸數之較為法除總米實得官米總六十三石
按右三條其法不異於前兩條但中間復帶細數須相乗者故微有不同耳若帶分盈朒雖亦大略相類而自為一法别起例於後
又如長方田中欲截分一段截長三十八歩不足二十五歩截長四十歩適足問原闊歩及所截積歩各㡬何法以不足數為原闊之實以適足之截長數乗不足數為截積之實俱以截長之較為法除之得原闊十二歩半截積五百歩〈一盈一適足者倣此〉
帶分盈不足例 假如將銀買物用銀三分之二盈三兩用五分之三不足一兩問銀數物價各㡬何法先以分子互乗分母以為用銀數〈分子二乗分母五則以十為用數不以二為用數分子三乗分母三則以九為用數不以三為用數〉然後以盈不足數相并以兩分母相乗之數乗之為銀實〈分子旣互乗分母以為用數則盈不足亦必累乗兩分母以為銀實也〉以用銀數互乗盈不足數相并為物價實俱以用銀數之較為法除之得總銀六十兩物價三十七兩
又如衆人買物每六人共出銀九兩盈三兩每四人共出銀七兩盈六兩問人數物價各㡬何法如前先以銀率互乗人率以為出銀數然後以兩盈數相減以兩人率相乗之數乗之為人實以出銀數互乗兩盈數相減為物價實俱以出銀數之較為法除之得人數一十二物價兩數一十五
按右例似與帶分有别而實則同也六人共銀九兩即是六分之九零分法原有子數多於母數者也所用算術旣無少異宜附帶分之條或别立名目重出一條徒滋學者之惑殆未深知其理之一耳 又按第一例旣以用銀數互乗盈不足得數若再以用銀數與乗得之數又互換而乗之〈前用銀數十互乗不足一兩仍得十用銀數九互乗盈三兩得二十七今再以用銀數十互乗二十七得二百七十用銀數九互乗十得九十也〉相并以兩分子相乗之數除之以為銀實〈第二例亦然此姑就第一例言之〉於算亦通而叠用互乗數目紛紜非法之良宜從芟削者也〈右二條新訂〉
又如將銀買米用銀三分之一買十石不足三兩用九分之四買十二石不足二兩問銀數及米每石價各㡬何法先以分子互乗分母及石數以為用銀數以兩不足數互乗石數以為兩不足數然後以兩不足數相減以兩分母相乗之數乗之為銀實以用銀數互乗兩不足數相減以兩石數相乗之數除之為米價實俱以用銀數之較為法除之得總銀三十六兩米每石價一兩五錢
按右例於帶分之外更有石數不齊須用乗除故其法頗繁宜依所問列左右二行左分子一乗右分母又乗右石數得一百零八為左用銀數左不足三乗右石數得三十六為左不足數右亦如之然後再用互乗庻無淆亂之患 按用銀數互乗兩不足得數即以為米價實〈不用兩石數相乗之數除也〉以用銀數之較為法除之却再以十石除之則得十二石之總價以十二石除之則得十石之總價
又按用銀數旣互乗兩不足得數再與乗得數互換乗之相減以兩石數相乗之數除之又以兩分子相乗之數除之以為銀實其法亦通然知之則可用之則迂矣〈右一條新増〉
又如穀不知數取三分之一賣銀八兩不足一石取九分之四賣銀十兩適足問總穀㡬何每銀一兩直榖㡬何法如前先以分子互乗分母及兩數以為出榖數以適足之兩數乗不足數以為不足數然後以不足數以兩分母相乗之數乗之為穀實以適足之出穀數乗不足數以兩兩數相乗之數除之為銀直實俱以出穀數之較為法除之得總穀四十五石每銀一兩之直穀二石
按右例旣得總穀石數但取適足銀數以原母乘之原子除之即得總穀所直之銀而銀一兩所直之穀可知矣此法最捷〈右一條新訂〉
又按此章諸例皆可以借徵法求之别著一條於第十二篇中餘可反隅而得也
九章錄要卷九
十二卷。清屠文漪(生卒年不详)撰。屠文漪字莼洲,江苏松江人。《九章录要》体例与杜知耕 《数学钥》相似,以 《九章》为序,用实例阐发 《九章》诸术,参以新式算法。卷一与卷二主要介绍乘除诸法与零分法,以提高计算速度为目的,并辅以各种技巧;卷三至卷十一为《九章》内容,篇目俱对应于 《九章》各目,屠文漪多采录梅文鼎诸书,尤详于勾股,以廉隅之法研之,加以推阐,以尽其用;卷十二为借征法,为《九章》法外巧术,屠文漪认为:“盖借衰原于衰分,叠借原于盈朒,而触类通之可以穷难知之数。”这是作者独创之法。《四库全书总目提要》称:“考其所载,虽未极精密,然于借数之巧,固已得其大端矣。”该书版本为《四库》本;尚有两份手抄本,现存于南京大学图书馆与中科院自然科学史研究所。