九章錄要卷十一之一
欽定四庫全書
九章錄要卷十一之一
松江屠文漪撰
句股法
古九章九曰句股以御髙深廣逺
廣曰句
修曰股
斜徑曰弦
句股相減之差數曰句股較
句弦相減之差數曰句弦較
股弦相減之差數曰股弦較
弦與句股較相減之差數曰弦較較 〈句較和 股和較〉弦與句股和相減之差數曰弦和較 〈句較較 股較較〉
句股相并之通數曰句股和
句弦相并之通數曰句弦和
股弦相并之通數曰股弦和
弦與句股較相并之通數曰弦較和 〈句和較 股較和〉
弦與句股和相并之通數曰弦和和 〈句和和 股和和〉
句股求弦 法并句股實得弦實開方 又法并句股較實句股和實半之亦得弦實
句弦求股 法以句實減弦實得股實開方 又法以句弦較乗句弦和亦得股實
股弦求句 法以股實減弦實得句實開方 又法以股弦較乗股弦和亦得句實
句與股弦較求股弦 法以較除句實得股弦和〈和減較半之得股和幷較半之得弦餘倣此〉 又法以句實減較實倍較而除之得股〈股并較得弦〉 又法以句實并較實倍較而除之得弦〈弦減較得股〉
股與句弦較求句弦 法以較除股實得句弦和 又法以股實減較實倍較而除之得句 又法以股實并較實倍較而除之得弦
句與股弦和求股弦 法以和除句實得股弦較 又法以句實減和實倍和而除之得股〈股減和得弦〉 又法以句實并和實倍和而除之得弦〈弦減和得股〉
股與句弦和求句弦 法以和除股實得句弦較 又法以股實減和實倍和而除之得句 又法以股實并和實倍和而除之得弦
句與弦較較求股弦 法以句減弦較較得股弦較股與弦較較求句弦 法以股并弦較較得句弦和句與弦和較求股弦 法以句減弦和較得股弦較股與弦和較求句弦 法以股減弦和較得句弦較句與弦較和求股弦 法以句并弦較和得股弦和股與弦較和求句弦 法以股減弦較和得句弦較句與弦和和求股弦 法以句減弦和和得股弦和股與弦和和求句弦 法以股減弦和和得句弦和弦與句股較求句股 法倍弦實減較實開方得句股和
弦與句股和求句股 法倍弦實減和實開方得句股較
句弦較股弦較求句股弦 法以兩較相乗倍之開方得弦和較并股弦較得句并句弦較得股并兩較得弦減句股和亦得弦
句弦和股弦和求句股弦 法以兩和相乘倍之開方得弦和和減股弦和得句減句弦和得股減兩和得弦減句股和亦得弦
句弦和股弦較求句股弦 法以和較相乘倍之開方得弦較較減股弦較得句減句弦和得股減一較一和得弦并句股較亦得弦
句弦較股弦和求句股弦 法以較和相乘倍之開方得弦較和減股弦和得句減句弦較得股減一和一較得弦減句股較亦得弦〈右二條新增〉
弦較較弦和較求句股弦 法以兩較相減半之得股弦較相并半之得句 又法以兩較相乘為實以兩較相減為法除之得股并兩較實半之以兩較相減為法除之得弦
弦較和弦和和求句股弦 法以兩和相并半之得股弦和相減半之得句 又法以兩和相乘為實以兩和相并為法除之得股并兩和實半之以兩和相并為法除之得弦
弦和較弦較和求句股弦 法以較和相減半之得句弦較相并半之得股 又法以較和相乗為實以較和相減為法除之得句并較和實半之以較和相減為法除之得弦
弦較較弦和和求句股弦 法以較和相并半之得句弦和相減半之得股 又法以較和相乗為實以較和相并為法除之得句并較和實半之以較和相并為法除之得弦〈右四條新增〉
弦較較弦較和求句股弦 法以較和相減半之得句股較相並半之得弦
弦和較弦和和求句股弦 法以較和相並半之得句股和相減半之得弦
句股求積法以句股相乗半之得積
〈後凡稱積者皆指此其云句股矩者則句股相乗之冪乃少廣章所稱之積指長方積而言者也〉
弦與句股較求積 法以弦實減較實以四除之弦與句股和求積 法以弦實減和實以四除之積句求股 法倍積以句除之
積股求句 法倍積以股除之
積弦求句股 法以四乗積減弦實開方得句股較并弦實開方得句股和
積與句股較求句股弦 法以八乗積並較實開方得句股和以四乘積並較實開方得弦
積與句股和求句股弦 法以八乗積減和實開方得句股較以四乗積減和實開方得弦
〈右二則或倍積以少廣章縱方法求句股亦得〉
積與弦較較求句股弦 法以四乗積以弦較較除之得弦較和
積與弦較和求句股弦 法以四乘積以弦較和除之得弦較較
積與弦和較求句股弦 法以四乗積以弦和較除之得弦和和
積與弦和和求句股弦 法以四乗積以弦和和除之得弦和較〈右四條新增〉
句股求容方 法以句股相乗以句股和除之得容方邊
餘句餘股求容方求句股 法以餘句餘股相乗開方得容方邊並餘句得句并餘股得股
容方與餘句求餘股與餘股求餘句 法以方自乘以餘句除之得餘股以餘股除之得餘句
容方與句求股與股求句法以句減容方得餘句乃以句乗容方以餘句除之得股以股減容方得餘股乃以股乗容方以餘股除之得句〈右一條新增〉
〈按句股容方有法而容長方無法者容方大小有一定之形容長方則無定形故也然長方之冪亦必等於餘句餘股相乗之冪而可以長方與餘句求餘股與餘股求餘句盖測望諸法多本於此若以餘句餘股求長方則必知其長乃可求廣知其廣乃可求長不然即難求矣又長方形在句股之中有縱有横設以長廣並餘句股為句股減句股為餘句股及與句求股與股求句則非知其縱横不可假如句十股六十與句十四股五十六内容長方廣八長十二餘句二餘股四十八皆同但有縱横之異耳〉
餘句與股餘股與句求容方 法以餘句乗股為實以餘句為帶縱開平方除之得容方〈餘句乗股之積猶句乗容方之積故以餘句為較而用長方積與較求廣法也〉以餘股乗句為實以餘股為帶縱開平方除之亦得容方〈義與上同〉
兩餘句與股求離股容方 前例容方其方一邊切句一邊切股一角切弦此則切句與弦而一邊乃離股者也離股處有内餘句切弦處有外餘句法以外餘句乗股為實並兩餘句為帶縱開平方除之得容方按容方若更離句者如前以外餘句乗股為實並
兩餘句為帶縱又以離句數為旁帶縱用雙帶縱開平方除之得容方 又按右例雖稱離股稱餘句然使句股互換者亦即以法互換而用之無異理也
句上容方〈方形半在句内半在句外而句當其中也股上容方倣此〉 法以句股相乗以股與半句和除之得方邊
股上容方 法以句股相乘以句與半股和除之〈按句股容長方無法者以長方大小無一定之形若半方則有定而可求矣句上股上容方是也且言句上股上則縱横已見而凡容方與句股餘句股互求諸法皆可變通而用之 右二條新增〉
句股求容員 法以句股相乘倍之以弦和和除之得容員徑〈即弦和較也〉
句外容員〈員在句外而從股弦直望之皆當員邊也〉 法以句股相乘倍之以弦較和除之〈即弦較較也〉
股外容員 法以句股相乗倍之以弦較較除之〈即弦較和也〉
弦外容員 法以句股相乘倍之以弦和較除之〈即弦和和也〉
句上容員〈句當員徑之中也〉 法以句股相乗倍之以股弦和除之
股上容員 法以句股相乗倍之以句弦和除之弦上容員 法以句股相乗倍之以句股和除之句股上容員〈句股角當員之中央也〉 法以句股相乗倍之以弦除之
句外容半員〈從股直望之當員徑從弦直望之當員邊也〉 法以句股相乗倍之以句弦較除之
股外容半員 法以句股相乗倍之以股弦較除之兩句中夾容員〈於一股為大小二句而員在其間也〉 法以兩句相乗倍之以兩句和除之
兩股中夾容員 法以兩股相乗倍之以兩股和除之兩弦中夾容員 法以兩弦相乗倍之以兩弦較除之句與股率句弦和率求股弦〈如句三股四弦五則股得句弦和二之一是為股率一句弦和率二也〉 法以二率相乗為股準二率各自乗相減半之為句準相并半之為弦凖乃以句乗股準以句準除之得股以句乘弦準以句準除之得弦
股與句率股弦和率求句弦 法以二率相乗為句準二率各自乗相減半之為股準相并半之為弦準乃以股乗句準以股準除之得句以股乗弦準以股準除之得弦 假如弦與股率句弦和率及弦與句率股弦和率求句股則如右二例求各準乃以弦乘句準以弦準除之得句以弦乗股準以弦準除之得股
容方與股率句弦和率求句股弦與句率股弦和率求句股弦 法如右二例求各準乃以句準乗容方邊以股準除之得餘句並容方邊得句以股準乗容方邊以句準除之得餘股并容方邊得股〈右三條新訂〉
句股比例用法 木長九尺圍之三尺葛生其下圍木四周上與木齊問葛長法以木長為句四周三尺相乗一十二尺為股句股求弦得一十五尺為葛長
又例 員木徑二尺五寸當中為板厚七寸問板兩面廣法以木徑為弦板厚為句句弦求股得二尺四寸為板廣
又例員木不知其徑鋸深一寸鋸道長一尺問木徑法以鋸道為句鋸深倍之為股弦較〈一面鋸深一寸若兩靣即深二寸故倍之〉句與股弦較求弦得二尺六寸為木徑
又例 木不知髙索不知長木梢垂索委地二尺引索斜去離木八尺乃適到地問木髙與索長法以離木為句委地為股弦較句與股弦較求股弦得一十五尺為木高一十七尺為索長
又例户不知髙廣竿不知長短持竿出户横之不出四尺竪之不出二尺斜之適出問户髙廣與竿長法以横之不出為句弦較竪之不出為股弦較二較求句股弦得六尺為户廣八尺為户髙十尺為竿長
又例 人不知數相與分帛帛總七百六十八匹每人分得帛數多於人數八問㡬人各分帛㡬匹法以帛總數為積分帛多於人數為句股較積與句股較求句股得二十四為人數三十二為各分帛數〈句股積乃句股相乗數之半故用八乗此只當用四乘〉
又例 方城不知大小四靣正中開門東門外百歩有木出南門二百二十五歩斜見木問城方法以東門外為餘句南門外為餘股餘句餘股求容方得一百五十歩倍之為城方〈所求容方止城方之半故倍之也〉
又例 方城不知大小東北角直北八十歩有木從東南角直南行三十八歩折而西行一千一百五十歩斜見木問城方法以直北為外餘句直南為内餘句西行為股兩餘句與股求離股容方得二百五十歩為城方〈此已是城之全方故不用倍〉
又例 城方七百二十歩馬歩二卒同發城中央率馬行二里歩行一里令歩卒直南行馬卒直東行又折而西南直行抹過城東南角與歩卒㑹問歩卒南行歩㡬何馬卒東行西南行歩各㡬何法以南行為股東行為句西南行為弦歩行率為股率馬行率為句弦和率城方之半為容方容方與股率句弦和率求句股弦得八百四十為歩卒南行歩六百三十為馬卒東行歩一千零五十為馬卒西南行歩
九章錄要卷十一之一
十二卷。清屠文漪(生卒年不详)撰。屠文漪字莼洲,江苏松江人。《九章录要》体例与杜知耕 《数学钥》相似,以 《九章》为序,用实例阐发 《九章》诸术,参以新式算法。卷一与卷二主要介绍乘除诸法与零分法,以提高计算速度为目的,并辅以各种技巧;卷三至卷十一为《九章》内容,篇目俱对应于 《九章》各目,屠文漪多采录梅文鼎诸书,尤详于勾股,以廉隅之法研之,加以推阐,以尽其用;卷十二为借征法,为《九章》法外巧术,屠文漪认为:“盖借衰原于衰分,叠借原于盈朒,而触类通之可以穷难知之数。”这是作者独创之法。《四库全书总目提要》称:“考其所载,虽未极精密,然于借数之巧,固已得其大端矣。”该书版本为《四库》本;尚有两份手抄本,现存于南京大学图书馆与中科院自然科学史研究所。