九章錄要卷十一之二
欽定四庫全書
九章錄要卷十一之二
松江屠文漪撰
句股圖說
句股弦及諸較和更互相求法已備載於前而其所以然之故非圖說不顯兹首列周髀三圗而取後人圗說删其繁複補其缺漏正其迂曲輯為一篇若容員非恒用之要術可得略云
周髀句股員方圖
子部,天文算法類,算書之屬,九章錄要,卷十一之二
句股弦相求 左右圗弦冪中有句股二冪之實故句股弦三者舉兩數則其一可知也
句股較句股和弦積相求 弦圗外大方為句股和冪中有句股之積八句股較冪之實一〈黄實是也〉弦冪中有句股之積四句股較冪之實一故句股較句股和弦積四者舉兩數則其餘可知
句與股弦較求股弦 句實以股弦較為廣股弦和為長〈謂在弦冪内股冪外者若股實則以句弦較為廣句弦和為長也〉觀左右圖可見而後圗更顯
全圗為弦冪內分一股冪即其餘皆為句實而黄實固股弦較冪也青實之廣亦股弦較也則句實以股弦較為廣審矣兩青一黄三實并其內之長兼兩股其外之長兼兩弦法應并而半之則句實以股弦和為長又審矣故以較除之得和也若於三實內減黄實而半之則得一青實而其長為股於三實外更加一黄實而半之則得一青一黄兩實并而其長為弦故句實較實相減倍較除之得股相并倍較除之得弦也倍較除猶之半其實也股與句弦較求句弦倣此不復為圗〈右圗說新訂〉
句與股弦和求股弦 前以股弦較除句實得股弦和則以和除必得較即前圗可推矣而句實和實相并減以求句弦則非後圗不明
全圖為股弦和冪於中四隅各分一股冪即中央黄實為股弦較冪青實之廣皆股弦較而就一隅論之以一股冪旁加兩青實一黄實之磬折形合而成一弦冪夫弦冪兼句股二冪者也可知兩青一黄三實并固與一句冪之實等也且三實并作磬折形與并作長方形無以異則句實以股弦較為廣股弦和為長審矣故以和除之得較也若於全圗冪内減兩青實一黄實而半之則得兩股冪一青實之長方形而其廣為股於全圖冪外更加兩青實一黄實而半之則得兩股冪三青實一黄實之長方形而其廣為弦故句實和實相減倍和除之得股相并倍和除之得弦也倍和除猶之半其實也股與句弦和求句弦倣此〈右圗說新訂〉
句弦較股弦較求弦和較 兩較相乗之冪二當弦和較之冪一各為圖以相比則明
此圖以股弦和為廣倍句弦和為長而於廣邊截二股分之則黄實朱實之廣皆股弦較於長邊截四句分之則黄實之長青實之廣皆句弦較而黄實固兩較相乗之冪且有二也總計全圗中有句股矩八朱實青實各四黄實二夫句股矩幷朱實成句弦矩幷青實成股弦矩然則此圗中并得句弦矩股弦矩各四而存黄實為兩較相乗之冪者二也乃以第二圗參之
此圗為弦和和冪於其内分句弦矩股弦矩各四兩縱兩横列四隅即中央黄實為弦和較冪也夫此圖大冪與第一圗大冪形異而實同則以此句弦矩股弦矩各四與第一圖相當而此一黄實當第一圗兩黄實無疑矣然何以見右兩圗大冪之異形同實更以第三圗參之
此圗亦弦和和冪而縱横俱截一句一弦一股分之則一弦冪旁加一句股矩一句弦矩一股弦矩合為長方形固句弦和股弦和相乗之冪〈句弦和為廣股弦和為長是兩和相乗之冪也〉而當第一圖半冪也長方形之外亦有句股矩句弦矩股弦矩各一又句冪股冪并之成弦冪一是亦一句弦和股弦和相乘之冪而當第一圗半冪也故知第一第二兩圗大冪異形同實也〈右三圗并說新易〉
句弦和股弦和求弦和和 兩和相乗之冪二當弦和和之冪一觀前兩較求弦和較第三圗已明不復贅〈右舊有圗說新刪〉
句弦和股弦較求弦較較 一和一較相乗之冪二當弦較較之冪一
全圗為句弦和冪於中分一股冪一句冪則黄實之邊青實朱實之廣皆股弦較股弦較乗句弦和應得一青實一朱實一黄實之長方形又倍之得兩青實兩朱實一黄實而重借一黄實也且股減句弦和即弦較較〈原以一句一弦幷今減股則句盡而弦内且減一句股較矣存者宜為弦較較也〉則兩朱實一黃實一句冪并固弦較較之冪矣而兩青實一黃實一股冪并乃成弦冪則兩青實一黃實并又與句冪等而可代弦較較冪中之句冪矣故知弦較較冪亦得兩青實兩朱實兩黃實也〈右圖説新增〉
句弦較股弦和求弦較和 一較一和相乗之冪二當弦較和之冪一
全圖為股弦和冪於中分一句冪一股冪則黃實之邊青實朱實之廣皆句弦較句弦較乘股弦和應得一青實一朱實一黃實之長方形又倍之得兩青實兩朱實一黃實而重借一黃實也且句減股弦和即弦較和〈原以一股一弦并今以句減股猶餘句股之較并入弦故為弦較和也〉則兩朱實一黃實一股冪并固弦較和之冪矣而兩青實一黃實一句冪并乃成弦冪則兩青實一黄實并又與股冪等而可代弦較和冪中之股冪矣故知弦較和冪亦得兩青實兩朱實兩黃實也〈右圖説新増〉
句股求容方
句股和與容方邊相乘之冪等於句股相乘之冪何也容方旣四邊等試以容方外餘句言之餘句為小句而方邊固小股也然則大句亦小句股和也以小句股和乘大股以大句股和乘小股其冪宜等也又試以容方外餘股言之餘股為小股而方邊固小句也然則大股亦小句股和也以小句股和乘大句以大句股和乘小句其冪又宜等也故以句股和除句股矩得容方邊也〈右圖説新訂〉
容方餘句餘股相求
全圖為句股矩冪於中斜界一弦平分為兩冪原無小異也然則兩朱兩青實各自相當而餘句餘股相乘之冪為長方黄實者不得不等於方黄實矣故容方餘句餘股可互求也〈右圖説新訂〉
容方與句求股
餘句與股相乗之冪猶容方邉與句相乗之冪何也餘句小句也方邉小股也以小句乗大股以小股乗大句其冪宜等也故以句乗容方以餘句除之得股也〈容方與股求句倣此 右圖説新増〉又試以前三色之實言之黄與黄朱與朱青與青旣皆等則長方黃實并兩朱實與方黃實并兩朱實亦宜等也長方黃實并兩青實與方黃實并兩青實亦宜等也故容方可與句求股與股求句也
句上容方
股及半句和與方邊相乘之冪等於句股相乘之冪何也方形半在句内則餘句為小句半方邊為小股而若以方邊為小股即餘句止為小句之半然則大句亦小股及半小句和也以小股及半小句和乘大股以大股及半大句和乘小股其冪宜等也故以股及半句和除句股矩得句上容方也股上容方倣此不復為圖〈右圖說新增〉
九章錄要卷十一之二
十二卷。清屠文漪(生卒年不详)撰。屠文漪字莼洲,江苏松江人。《九章录要》体例与杜知耕 《数学钥》相似,以 《九章》为序,用实例阐发 《九章》诸术,参以新式算法。卷一与卷二主要介绍乘除诸法与零分法,以提高计算速度为目的,并辅以各种技巧;卷三至卷十一为《九章》内容,篇目俱对应于 《九章》各目,屠文漪多采录梅文鼎诸书,尤详于勾股,以廉隅之法研之,加以推阐,以尽其用;卷十二为借征法,为《九章》法外巧术,屠文漪认为:“盖借衰原于衰分,叠借原于盈朒,而触类通之可以穷难知之数。”这是作者独创之法。《四库全书总目提要》称:“考其所载,虽未极精密,然于借数之巧,固已得其大端矣。”该书版本为《四库》本;尚有两份手抄本,现存于南京大学图书馆与中科院自然科学史研究所。