九章錄要卷十二
欽定四庫全書
九章錄要卷十二
松江屠文漪撰
借徴法
衰分盈朒方程之外更有借徴之法蓋借衰原於衰分疉借原於盈朒而觸類通之可以窮難知之數此九章法外之巧也故以次九章之後
借衰互徴 借衰者本無正衰而借立虚數為衰以相例也或自有正衰可用衰分法而别取借衰亦從其便假如商販不知其母初往獲息當母十之三以并入母再往獲息當母五之三以并入母又往折閲四之一又往獲倍息〈母一子亦一也〉以并入母又往折閲六之一亦不知實在總銀㡬何只云更須銀十兩即所獲子銀為原母數者二問原母及總銀其法任意借一數為原母且如原母十兩如前計之當得總銀二十六兩若論母一子二則不足四兩以四兩之原母及總銀推之而不足十兩者可知也
一率 四〈借衰不足兩數〉
二率 十〈借衰原母兩數〉 二十六〈借衰總銀兩數〉
三率 十〈所問不足兩數〉
四率 二十五〈所問原母兩數〉六十五〈所問總銀兩數〉
又如出兵大小船數相等大船每三隻載五百名小船每四隻載三百名共載兵四千三百五十名問大小船各㡬隻試借大小各六為船衰計總載兵一千四百五十名以一千四百五十名所須之船推之而四千三百五十名所用船可知也
一率 一千四百五十〈借衰兵數〉
二率 六〈借衰船數〉
三率 四千三百五十〈所問兵數〉
四率 一十八〈所問船載〉
按右例用借衰法較之衰分章用互乗者倍㨗〈右一條新增〉
又如漏壺注水三時而滿洩水八時而盡問且注且洩㡬時滿一壺即借十二時推之凡注四壺洩一壺半相減得二壺半
一率 二壺又二分壺之一
二率 十二時
三率 一壺
四率 四時又五分時之四
又如依前三時注水滿一壺八時洩水盡一壺且注且洩問五時又三分時之一可滿㡬何亦借十二時推之注洩相減得二壺半
一率 十二時
二率 二壺又二分壺之一
三率 五時又三分時之一
四率 一壺又九分壺之一
又如商販不知其母但云每度俱獲倍息即於中用銀三百兩如是三度子母俱盡問原母㡬何即任意借一數算之且如借銀二兩加三度倍息得一十六兩為用銀之衰於十六兩内減母二兩餘十四兩為母銀之衰
一率 十六兩
二率 十四兩
三率 三百兩
四率 二百六十二兩五錢
右例說見衰分章參觀自解其意也〈若四度五度而盡者即加四度五度倍息如法算之 以上四條並已見衰分章〉
疊借互徴盈數最難知則兩借虚數以徴之盖彷彿盈朒之法然原數初無盈朒而盈朒生於借數乃因其盈朒推求眞數立法尤為竒巧假如米每石價二兩麥一兩六錢總銀七十四兩買米麥共四十石問各㡬何試借米三十石用價六十兩則麥一十石當用價一十六兩計價總七十六兩以比原總盈二兩列左又借米十五石用價三十兩則麥二十五石當用價四十兩計價總七十兩以比原總不足四兩列右盈不足相并為法米麥各以所借石數及所借用價數左右互乗盈不足數相并以法除之即各得所求正數若兩盈兩不足者為法之數及互乗得數皆相減〈與盈朒章同〉
右例借衰或據價原總數算之而以總石數較原總以得盈朒如法乗除亦合
又如總銀八百兩買綾一百匹羅二百匹絹二百匹其價綾多於羅每匹六錢羅多於絹每匹八錢問三物各價㡬何試借二兩為綾價一兩四錢為羅價六錢為絹價計價總六百兩比原總不足二百列左又借三兩為綾價二兩四錢為羅價一兩六錢為絹價計價總一千一百兩比原總盈三百列右三物各以所借價數互乗盈不足數如前法求之即各得正價又如賞軍每馬兵五名給紬三匹每歩兵四名給布六匹總馬歩共八千一百名給紬布共九千匹問馬歩各㡬何紬布各㡬何試借馬兵四千給紬二千四百則歩兵四千一百應給布六千一百五十計總紬布八千八百五十比原總不足四百五十列左又借馬兵五千給紬三千則歩兵三千一百應給布四千六百五十計總紬布七千六百五十比原總不足一千三百五十列右馬歩紬布各以所借數互乗兩不足數如法求之即各得正數右例借衰或據紬布原總數算之而以馬歩總數較原總以得盈朒如法乗除皆合〈右一條新増〉
又如大船四櫓四漿小船二櫓八漿今但見總作櫓一百張漿二百零八張問大小船各㡬何試借大船二十櫓八十小船一十櫓二十則大船槳八十小船槳八十總一百六十比原總不足四十八列左又借大船十五櫓六十小船二十櫓四十則大船槳六十小船漿一百六十總二百二十比原總盈十二列右大小船及大小船櫓槳各以所借數互乗盈不足數如法求之即各得正數〈右一條新增〉
右例借衰或據槳原總數算之而以櫓總數較原總得盈朒如法乗除亦同
又如商販不知其母但云每度俱獲倍息即於中用銀三百兩如是三度子母俱盡問原母㡬何即借三百為母三度後當用六百固盈三百列左又借二百五十為母三度後止應用二百又不足一百列右乃以借母互乗盈不足數如法求之得原母〈右一條新增〉右例已見借衰互徴旣可單借而得則不須疊借矣舉此以見法之無窮耳凡單借可得者亦可疊借而得若須疊借而得者往往非單借所能得也〈以上五條並已見衰分章〉
又如乙匠製造四十五日而畢加甲匠則十八日而畢問獨用甲匠須㡬日法先推乙匠十八日所成為四十五日内五分之二則甲匠十八日所成乃其五分之三也因借三十六日推之當成五分之六是全工外盈五之一列左又借二十六日推之當成十五分之十三則全工内不足十五之二列右乃以借日互乘盈不足數如法求之得甲日〈右一條已見商功章〉
又如驛使先發一十三日别遣騎追之馳二日半訪之驛舍知先後經過較十一日半問更須㡬日追及法以先發日減較日知二日半追上一日半則一日追上五分日之三也因借二十日推之當追上五分日之六十減較日二分日之二十三為盈二之一列左又借十五日推之當追上五分日之四十五比較日不足二之五列右乃以借日互乗盈不足數如法求之得追及日
又如空車日行七十里若載重即日行五十里今運米到倉五日三返問路逺㡬何試借五十里推之重行三日則空行七分日之十五而五日減三日餘二日止七分日之十四為盈七之一列左又借三十五里推之空行一日半則重行十分日之二十一而五日減一日半餘三日半固十分日之三十五為不足十之十四列右乃以借日互乗盈不足數如法求之得路逺〈右二條已見均輸章俱新增〉
又如將銀買米用銀三分之一買十石不足三兩用九分之四買十二石不足二兩問銀數及米每石價各㡬何試借二十七兩為銀總數内以三之一九兩買十石不足三兩則米價當為一兩二錢而以九之四一十二兩買十二石不足二兩四錢比原數不足四錢列左又借五十四兩為銀總數内以三之一一十八兩買十石不足三兩則米價當為二兩一錢而以九之四二十四兩買十二石不足一兩二錢比原數盈八錢列右銀總數與三之一九之四及米價各以所借數互乗盈不足數如法求之即各得正數右例或據九分之四算之而以三分之一較原不足數以得盈朒如法乘除亦同〈右一條已見盈朒章新增〉
又如賣米五石麥五石得銀一十四兩又賣米四石買麥七石出銀二兩問米麥每石價各㡬何試借二兩為米價八錢為麥價以符一十四兩之數則賣米四石買麥七石當得銀二兩四錢比原數盈四兩四錢列左又借一兩八錢為米價一兩為麥價以符一十四兩之數則賣米四石買麥七石當得銀二錢比原數盈二兩二錢列右米麥價各以所借數互乗兩盈數如法求之即各得正數 右例或據賣米買麥數算之而以總賣價較原價以得盈朒如法乗除亦同〈右一條已見方程章新增〉
又如甲乙銀各不知數别有銀八十兩以與甲則甲為乙數者三以與乙則乙為甲數者二問原數各㡬何試借四十為甲數加八十得一百二十而以其三之一四十為乙數加八十得一百二十則倍甲外盈四十列左又借七十為甲衰加八十得一百五十而以其三之一五十為乙數加八十得一百三十則欲倍甲又不足一十列右甲乙各以所借數及所借又加八十之數互乗盈不足數如法求之即各得所問數〈甲原六十四乙原四十八〉
又如甲乙銀不知數乙以十六兩與甲則乙當甲三之一甲以二十四兩與乙則甲當乙七之五問各實數㡬何試借二十九兩為甲數〈減二十四與乙則餘五故借此數且得乙十六成四十五又為三倍乙之地也〉又得乙十六兩則成四十五兩而乙居三之一應是一十五兩并未與甲十六兩共三十一兩為乙數又得甲二十四兩則成五十五兩乃甲減二十四止餘五兩論甲五乙七乙止應七兩固盈四十八兩列左再借四十四兩為甲數〈以二十四與乙則餘二十為五數者四又得十六成六十為三倍乙之地也〉又得乙十六兩則成六十兩而乙居三之一應是二十兩並未與甲十六兩共三十六兩為乙數又得甲二十四兩則成六十兩乃甲減二十四止餘二十兩論甲五乙七乙止應二十八兩亦盈三十二兩列右甲乙各以所借數及所借加減得失之數互乗兩盈數如法求之即各得所問數〈甲原七十四乙原四十六〉
又如出師有中上下三軍中軍四萬上軍為中下二軍二分之一下軍為中上二軍三分之一問上下軍各㡬何試借三萬為上軍則中下二軍應六萬而下軍止應二萬若為中上三分之一中上止應六萬而實七萬固盈一萬列左又借二萬四千為上軍則中下二軍應四萬八千而下軍止應八千若為中上三分之一中上止應二萬四千而實六萬四千又盈四萬列右上軍下軍中上二軍中下二軍各以所借數互乗兩盈數如法求之即各得正數〈上軍三萬二千下軍二萬四千〉又如甲乙丙三人共博甲贏乙金二之一乙贏丙金三之一丙又贏甲金四之一事畢各剰金七百兩問各原母㡬何試借一百兩為甲母内減四之一二十五兩與丙應存七十五兩又贏乙二之一而為七百兩是得乙六百二十五兩而乙母當為一千二百五十兩内旣減二之一應存六百二十五兩又贏丙三之一而為七百兩是得丙七十五兩而丙母應為二百二十五兩内旣減三之一應存一百五十兩加入得甲二十五兩共一百七十五兩欲滿七百則不足五百二十五列左又借二百兩為甲母内減四之一五十兩與丙應存一百五十兩又贏乙二之一而為七百兩是得乙五百五十兩而乙母應為一千一百兩内旣減二之一應存五百五十兩又贏丙三之一而為七百兩是得丙一百五十兩而丙母應為四百五十兩內旣減三之一應存三百兩加入得甲五十兩共三百五十兩欲滿七百亦不足三百五十列右甲乙丙各以所借母數及所借加減得失之數互乗兩不足數如法求之即各得所問數〈甲母四百乙母八百丙母九百〉又如甲乙丙三數甲加七十三得為乙丙數者二乙加七十三得為甲丙數者三丙加七十三得為甲乙數者四問各原數㡬何此因三數牽連難析必以前法再三推求而得之先借一為甲衰甲加七十三當兼乙丙而倍之因以減半得三十七為乙丙數而乙丙又衰分焉且如借二為乙數則丙係三十五矣乃以乙二加七十三得七十五而甲丙合數三十六若乙欲為甲丙數者三〈應一百零八〉固不足三十三列左〈只列乙二丙三十五及不足三十三其甲衰且置之下倣此〉又借五為乙數則丙係三十二矣乃以乙五加七十三得七十八而甲丙合數三十三若乙欲為甲丙數者三〈應九十九〉亦不足二十一列右乙丙各以所借數互乗兩不足數如法求之得乙衰一十零四之一丙衰二十六零四之三再借三為甲衰加七十三以其半三十八為乙而數而乙丙又衰分之為法如前焉即借二為乙數則丙係三十六矣乃以乙二加七十三得七十五而甲丙合數三十九若乙欲為甲丙數者三〈應一百一十七〉固不足四十二列左又借二十為乙數則丙係一十八矣乃以乙二十加七十三得九十三而甲丙合數二十一若乙欲為甲丙數者三〈應六十三〉又盈三十列右乙丙各以所借數互乗盈不足數如法求之得乙衰一十二零二之一丙衰二十五零二之一於是更以前所借甲衰一所得乙衰一十零四之一丙衰二十六零四之三别為圖列左而以後所借甲衰三所得乙衰一十二零二之一丙衰二十六零二之一列右乃依所問察之左甲衰及所加已得為乙丙數者二乙衰及所加〈八十三又四之一〉亦得為甲丙數者三〈甲丙共二十七又四之三〉惟丙衰及所加共得九十九零四之三而甲乙合數一十一零四之一若丙欲為甲乙數者四〈應四十五〉則盈五十四零四之三隨列於左又審右甲衰及所加已得為乙丙數者二乙衰及所加〈八十五又二之一〉亦得為甲丙數者三〈甲丙共二十八又二之一〉惟丙衰及所加共得九十八零二之一而甲乙合數一十五零二之一若丙欲為甲乙數者四〈應六十二〉亦盈三十六零二之一隨列於右甲乙丙各以衰互乗兩盈數如法求之得七為甲數一十七為乙數二十三為丙數
九章錄要卷十二
十二卷。清屠文漪(生卒年不详)撰。屠文漪字莼洲,江苏松江人。《九章录要》体例与杜知耕 《数学钥》相似,以 《九章》为序,用实例阐发 《九章》诸术,参以新式算法。卷一与卷二主要介绍乘除诸法与零分法,以提高计算速度为目的,并辅以各种技巧;卷三至卷十一为《九章》内容,篇目俱对应于 《九章》各目,屠文漪多采录梅文鼎诸书,尤详于勾股,以廉隅之法研之,加以推阐,以尽其用;卷十二为借征法,为《九章》法外巧术,屠文漪认为:“盖借衰原于衰分,叠借原于盈朒,而触类通之可以穷难知之数。”这是作者独创之法。《四库全书总目提要》称:“考其所载,虽未极精密,然于借数之巧,固已得其大端矣。”该书版本为《四库》本;尚有两份手抄本,现存于南京大学图书馆与中科院自然科学史研究所。