九章錄要卷七
欽定四庫全書
九章錄要卷七
松江屠文漪撰
商功法
古九章五曰商功以御功程積實
塹堵求積尺 凡築城墻堤塹之類上下廣不等者法并上下廣折半以髙乘之復以長乘之得積
塹堵求積又法 堤塹之類亦有兩頭之上廣之下廣之髙各不等者法倍東髙加入西髙以東頭上下廣并而乘之折半又倍西髙加入東髙以西頭上下廣并而乘之折半并二數以長乘之以六除之或不用兩度折半者則以十二除之〈右一條新訂〉
方臺求積 法同粟米章方窖
長方臺求積法同長方窖
員臺求積 法同員窖
長員臺求積法同長員窖
方錐求積 法同粟米方尖堆
方錐改方臺求各數法 假如方錐下方二十四尺髙三十二尺今改方臺上方六尺問髙幾何
一率 二十四〈原下方尺數無減〉
二率 三十二〈原髙尺數〉
三率 一十八〈今上下方較尺數〉
四率 二十四〈今髙尺數〉
又如前例問截去幾何
一率 二十四〈下方〉
二率 三十二〈原髙〉
三率 六〈今臺上方即今截下方〉
四率 八〈今所截之髙〉
右二例若求今髙以減原髙亦得所截之髙求截髙以減原髙亦得今髙而必備其法者庻各得所求不須借徑也又如前例今髙二十四尺問上方幾何
一率 三十二〈原髙〉
二率 二十四〈下方〉
三率 八〈今髙減原髙為所截之髙〉
四率 六〈今截下方即今臺上方〉
右例亦可以今髙列三率求得四率為今上下方較以減下方而得上方也
員臺改員錐求各數 假如員臺下周七十二尺上周一十八尺髙二十四尺今改員錐問髙㡬何
一率 五十四〈原上下周較〉
二率 二十四〈原髙〉
三率 七十二〈今下周無減〉
四率 三十二〈今髙〉
又如前例問增髙㡬何
一率 五十四〈原上下周較〉
二率 二十四〈原髙〉
三率 一十八〈原臺上周即今增下周〉
四率 八〈今所增之髙〉
又如前例今髙三十二尺問上周
一率 二十四〈原髙〉
二率 五十四〈原上下周較〉
三率 三十二〈今髙〉
四率 七十二〈今上下周較以減下周適盡知為員錐也〉
右例亦可以今所增之髙列三率求得四率為所增上下周較以減原上周適盡而知為員錐也
又右六法方減員增特互舉以見例而法則相通且方或以周算員或以徑算亦皆同耳
塹堵增減求數法 假如築墻上廣二尺下廣六尺髙二十尺今已築至上廣三尺六寸問髙㡬何
一率 四十〈原上下廣較化寸數〉
二率 二十〈原高尺數〉
三率 二十四〈今上下廣較化寸數〉
四率 一十二〈今高尺數〉
又如前例今欲築至髙二十四尺問上廣㡬何一率 二十〈原高尺數〉
二率 四十〈原上下廣較化寸數〉
三率 二十四〈今高尺數〉
四率 四十八〈今上下廣較寸數以減下廣得一十二寸為今上廣〉
塹堵以直高求斜高以斜高求直高 法以上下廣較半之為勾直高為股斜高為弦以勾股法互求之〈右一條新増〉
功程遲速例 假如乙匠製造四十五日而畢加甲匠則十八日而畢問獨用甲匠須㡬日法以十八日減四十五日得二十七日為乙匠未畢之工知甲匠十八日當乙二十七日也列率求之
一率 二十七
二率 一十八
三率 四十五
四率 三十
又如甲匠製造六十日而畢乙匠則百日而畢問兩匠并營須㡬日法以六十日除百日得甲匠一日之工當乙匠一日又三分日之二并乙匠一日得二日又三分日之二以除百日得三十七日又二分日之一為并營日數或以百日除六十日得乙匠一日之工當甲匠五分日之三并甲匠一日得一日又五分日之三以除六十日亦得三十七日又二分日之一〈右一條新增〉
方尖堆物求積〈自此以下皆隙積之法隙積謂積之有隙者如累棊及積酒罌之類與前積尺法不同〉 假如方尖堆下廣十二問積㡬何法置下廣十二别以下廣加一枚為十三而乗之得一百五十六又以下廣加半枚為十二有半而乗之得一千九百五十以三除之得積六百五十
方平堆物求積 法以下廣依尖堆法求積别以上廣減一枚為下廣依尖堆法求積兩尖堆積相減得平堆積〈此以平堆先作尖算乃減上虗尖成平也〉
長方平尖堆求積〈旣云尖又云平者上廣只一故謂之尖上長不止於一故又謂之平也〉假如長方平尖堆下廣十長十二問積㡬何法以
長廣較半之得一又加半枚得一有半并長得十三有半以廣乗之得一百三十五又以廣加一枚為十一而乗之得一千四百八十五以三除之得積四百九十五 又法先以廣長較加一枚得上長而算之〈上廣只一不必言〉假如平尖堆下廣八長十三問積幾何此可知上廣一而長六也乃倍下長加上長得三十二以下廣乗之得二百五十六又以下廣乗之得二千零四十八并二百五十六得二千三百零四以六除之得積三百八十四
長方平堆求積 法倍上長加下長以上廣乗之又倍下長加上長以下廣乗之并二數加上下長較〈上下廣較同〉以髙乗之〈上下長較加一數得髙上下廣較亦同〉以六除之得積按此法長方平尖堆及方尖堆方平堆皆可用之蓋一法而兼四法可云居要者也
三角尖堆求積 假如三角尖堆下廣八問積㡬何法置下廣八别以下廣加一枚為九而乗之得七十二又以下廣加二枚為十而乗之得七百二十以六除之得積一百二十
三角平堆求積 法以上廣自乗又以下廣自乗又以上廣乗下廣又倍下廣加上廣并四數以髙乗之〈上下廣較加一數得髙〉以六除之得積 按此法亦可用之三角尖堆
九章錄要卷七
十二卷。清屠文漪(生卒年不详)撰。屠文漪字莼洲,江苏松江人。《九章录要》体例与杜知耕 《数学钥》相似,以 《九章》为序,用实例阐发 《九章》诸术,参以新式算法。卷一与卷二主要介绍乘除诸法与零分法,以提高计算速度为目的,并辅以各种技巧;卷三至卷十一为《九章》内容,篇目俱对应于 《九章》各目,屠文漪多采录梅文鼎诸书,尤详于勾股,以廉隅之法研之,加以推阐,以尽其用;卷十二为借征法,为《九章》法外巧术,屠文漪认为:“盖借衰原于衰分,叠借原于盈朒,而触类通之可以穷难知之数。”这是作者独创之法。《四库全书总目提要》称:“考其所载,虽未极精密,然于借数之巧,固已得其大端矣。”该书版本为《四库》本;尚有两份手抄本,现存于南京大学图书馆与中科院自然科学史研究所。