卷首上
钦定四库全书
数度衍卷首上
桐城方中通 撰
数原
勾股原图説
一 股?较即勾股较
二 勾?较
三 勾
四 股
五 ?
六 股?较与?和
七 勾?较与?和即勾股和
八 勾?和
九 股?和
通曰九数出于勾股勾股出于河图故河图为数之原周髀曰勾广三股修四径隅五天数二十有五?之开
方也河图之数五十有五中五不用用其五十合勾自之股自之?自之之数也勾三阳数也居左和?而为八故八与三同位股四隂数也居右和?而为九故九与四同位?五勾股所求之数也居中勾?较得二居上股?较得一居下勾?较与?和为七故七与二同位股?较与?和为六故六与一同位?居中倍为十而倍之之数不可用故洛书不用十也勾股左右両较上下四和四围岂偶然哉勾不尽于三而始于三股不尽于四而始于四?不尽于五而始于五较不尽于一二而始于一二和不尽于六七八九而始于六七八九此勾股之原也
加减乘除原图
加减乘除原説
通曰不用十而用九河图变为洛书加减乘除之数皆从洛生而九数之用备焉加者并也一隂一阳相并而生阳为用故一并六为七七并二为九九并四为十三去十不用所生为三三并八为十一去十不用所生为一数始于阳阳故统隂此加之原也减者去也隂中去阳则六去一为五八去三为五阳中去隂则九去四为五七去二为五边去中存此减之原也乘者积也除者分也一无积分相对而为乘除者仍为九焉二与八对
二其八八其二所积皆十六截东南三四九之数合矣二分十六得八八分十六得二此二与八之互见也三与七对三其七七其三所积皆二十一不用三下之八七下之六而一二四五九之数合矣三分二十一得七七分二十一得三此三与七之互见也四与六对四其六六其四所积皆二十四三八亦积二十四不用三八而一二五七九之数合矣四分二十四得六六分二十四得四此四与六之互见也五宜与十对而洛书无十故以中五乘四隅所积之数必止于十而无余五乘二为一十是为两方之数【四正四隅两方相对皆十】五乘四为二十是为四方之数【四正合为二十四隅亦合为二十两正两隅亦合为二十】五乘八为四十是为八方之数【四正四隅合为四十】五除十得二五除二十得四五除三十得六五除四十得八二除十四除二十六除三十八除四十皆五此即五与十之互见也洛书无十而十藏于中矣足后反无余不足然后足此乘除之原也
九章皆勾股説
通曰九数曰方田御田畴界域曰粟布御交质变易曰差分御贵贱禀税曰少广御积幂方圆曰商功御功程积寔曰均输御逺近劳费曰盈朒御隐襍互见曰方程御错糅正负曰勾股御高深广逺周礼保氏注也周髀周之算经也陈子曰髀者股也正晷者勾也以勾为首以髀为股又曰髀者表也然周髀独明勾股不及九章何哉偃矩以望高覆矩以测深卧矩以知逺勾股之自为用也环矩以为圆合矩以为方方数为典以方出圆勾股之所生也数有可见者有?而不得见者有互见者有旁见者其变无穷藏于圎方少广圎方所出也方田商功皆少广所出一方一圎其间不齐始出差分而均输对差分之数盈朒者借差求均又差分均输所出而以方程济其穷度也量也衡也原于黄钟粟布出焉黄钟出于方圎者也三分益一圎周变为方周四分用三圎积变自方积故勾股之容圎方不同方田少广生焉折半以平粟布均输生焉盈朒方程生于诸和商功差分生于诸较勾股岂非九数之原乎设为九章者便用耳田畴界域或见于勾股少广方田统之矣交质变易或见于差分均输粟布统之矣故九章以用而分不以数而分也秦西立十八法盈朒曰叠借互征方程曰杂和较乘分少广为九而开方诸法有其七其二曰逓加倍加勾股有其略差分仍为差分粟布商功见于三率均输见于重准测名异理同究无同异也加减乘除出于洛亦成于勾股和者勾股?之相并也较者勾股?之相较也并以成加较以成减勾股自之而为?积则乘成?积开方而为?则除成有河即有洛有勾股即有加减乘除何往非图书引触哉
四算说
通曰古法用竹径一分长六寸二百七十一而成六觚为一握即少广圎以六包也后世有珠算而古法亡矣泰西之笔算筹算皆出九九尺算即比例规出三角筹尺虽不备加减其用甚便葢乘莫善于筹除莫善于笔加减莫善于珠比例莫善于尺用加为减用加减为乘除借此知彼无往而非比例也好学深思可以通而几矣
九九图説
此九九全图即相乘
相除图也【相乗者一一得一一
二得二之类相除者九除八十一得九八
除六十四得八之类】
此自乘图也【一一得一
二二得四三三得九之类】
此各并图也
【三与六并九四与八并十
二之类】
此隔一位并图也【四与十二并十六五与十五并二十之类】隔二位并【五与二十并二十五六与二十四并三十之类其隔中又
并者五之左十二十之右十五亦并二十五也余仿此】隔三位并隔四位并 隔五位并
隔六位并【无不合隔中挨次而并亦无不合】
此相减生阳图也【四去
一而生三六十四去一而生六十三九去
四而生五四十九去四而生四十五之类
右而左者自少而多即据见数减之左而
右者自多而少当除十而减其余也除皆
阴数始除八十次除六十次除四十次除
二十】
此相减生隂图也【六去
二而生四五十六去二而生五十四十二
去六而生六四十二去六而生三十六之
类自左而右者亦除十余皆阳数始除七
十次除五十次除三十】
【并首尾之一九为十并一与十六为十七并一与二十五为二以九乘之得九十折以十六乘之得二百十六以二十五乘之半得四十五为实以七十二折半得一百得六百五十折半得三为法除之得十五三十六为实以四为三百二十五为实以
故纵横皆十五也 法除之得纵横皆三五为法除之得纵横此用少广章顺加求十四 皆六十五积法得实】
【并一与三十六为三十七以三十六乘之得一千三百三】
【十二折半得六百六十六为并一与四十九为五十以四十九实以六为法除之得纵横皆乘之得二千四百五十折半得一
一百一十一 千二百二十五为实以七为法除之得纵横皆一百七十五
并一与六十四为六十五以六十四乘之得四
千一百六十折半得二千零八十为实以八为
法除之得纵横】
【皆二百六十并一与八十一为八十二以八十
一乘之得六千六百四十二折半得三千三百
二十一为实以九为法除】
【并一与一百为一百零一以一百乘之得
一万零一百折半得五千零五十为实以
十为法除之得纵横】
[子部,天文算法类,算书之属,数度衍,卷首上
【六十四子顺逆安置用横行八位为一阵首行数居北之右八行数居北之左二行数居南之左七行数居南之右三行数居东之上五行数居东之下四行数居西之下六行数居西之上其求积法如前八八图每阵得二百六十每阵各取半面四子积一百三十合而俱成一阵数无不同如截坎东四子艮西四子共得二百六十截干南四子兑北四子亦得二百六十
用七十二子为图并一与七十二得七十三以七十二乘
之得五千二百五十六折半得二千六百二十八为实以
九为法除之得每环八子为一阵各二百九十二以九阵
化为十三阵也】
通曰商高曰圎出于方方出于矩矩出于九九八十一赵君卿曰九九者乘除之原也乘之九九见乎外除之九九藏乎内故为乘之原即为除之原也夫九九者生生之谓也人知夫数始于一而不知数始于九人知夫数终于十而不知数终于九葢九与九遇始以继终终以继始旋相为用而无始无终此所谓生生也一三五七为阳而九统之二四六八为隂而九统之阳故不统阳而统隂阳者也如右诸图靡不适合然犹一定位次至错综变化无方无体而中天然之节藏往知来宁独九九而已哉
倚数图说
通曰易曰参天两地而倚数无倚不生则无数也有中倚焉有偏倚焉数始于一二何自来乎一之自并也三何自来乎一与二并也四何自来乎二之自并也一与三并也推至京垓亦无不然两相倚而生者中也以此倚彼而生者偏也不特生为然也即用亦有倚焉积小知大则用中倚由博反约则用偏倚中可互用偏惟専成裒多益寡则偏中皆用葢用之无节虽中亦偏用之当位虽偏亦中存乎其人耳数故可倚而不可倚不可倚而后可倚者若夫相追而合有偶合不可为率者有巧合可为准者相距而合有不合而适合者有似合而非合者故参两之倚可以神遇不可尽以言传苟非黙悟防通未免倚彼失此倚此失彼逐物者中无所主
自恃者有所不见此不可以入数即不可以入理也
今之五量用数图说
十百 万千百十○分厘毫丝忽微纎沙尘埃渺漠【或作微尘渺漠埃纎
沙或作防佥或作纎尘沙渺漠茫】
权衡 十斤两钱分【凡分以下俱同前】
十两钱分
升斛 十石斗升合勺抄撮圭粟粒颗【或作粒黍防糠粃或作颗粒】尺丈 十丈尺寸分
里步 十里百十步分【三百六十步为里】
十畆分【或用万千百十顷十畆分 百畆为顷】
十弓分【二百四十弓为畆 弓与?同】
通曰家语黄帝设五量曰权衡曰升斛曰尺丈曰里步曰十百不以升斛独为量也度量衡同律皆以黍生里歩不通量衡十百可通五量故今之五量用有非一则者数有相通者十之上分之下皆同十百之名惟升斛无分名耳皆遇十则升而权衡里步稍有不同斤法十六里法三百六十故也权衡之用有二或用斤或止用两里步之用有三或用里或用畆或用弓十百之用无穷矣度之通于量也二尺五寸为斛法衡之通于量也百二十斤为石法曰亿曰兆曰京曰垓曰秭曰穰曰沟曰涧曰王曰载此十等数也而其用分上中下数下数者十十变之十万曰亿十亿曰兆十兆曰京至载皆以十进中数者万万变之万万曰亿万亿曰兆万兆曰京之类也上数者数穷则变万万曰亿亿亿曰兆兆兆曰京之类也虽然数不可以名拘河洛有数无名圣人因其数而名之曰一曰二亦物谓之而然也
数度衍卷首上
中国清代数学书。方中通撰,共24卷,附录一卷。成稿于顺治辛丑(1661),但到康熙丁卯(1687)才刊刻于广东思州。全书二十三卷,分订八册。大致内容如下:卷首:数原、律衍、几何约、重学解;卷一:珠算;卷二、三:笔算;卷四:筹算;卷五:尺算;卷六至卷八:勾股章;卷九至卷十四:少广章;卷十五:方旧章;卷十六:商功章;卷十七至卷十八:差分章;卷十九,均输章;卷二十:盈朒章;卷二十一:方程章;卷二十二:粟布章;卷二十三:九章解法。书中对清初流行的“四算”,介绍较详。其弟中履在序中说:“合四法而论其长,则珠之加减,笔之除,筹之乘,尺之比例”。正确地指出了“四算”之长。其内容以西法为主,杂以中法,大抵集辑诸家之长,而增损润色,衍为此编。对“珠算”专写一卷,其内容有:加法、减法、因乘法、因乘定位法、定身因乘法、归除法、无除法、撞归法、归除定位法、定身归除法、商除法、折半法、乘除捷法、流法、乘除新法。后附“正珠乘除新法”。其中“乘除新法”,为“金蝉算”之发展,增加了五倍折半法。“正珠乘除新法”,系其子方正珠创立的方法,实乃今日之补数乘除法。