卷五下之上
钦定四库全书
数学钥卷五下之上
柘城杜知耕撰
盈朒
一则
盈适足
设和买一物每人出银七两盈六两每人出银五两适足求物价人数法曰列七两盈六两于右列五两于左以左上乗右下【得三十两】为物实右下六两为人实
另以左上右上对减【余二两】为
法以法除物实得一十五两
为物价以法除人实得三为
人数
解曰甲为七两乙为五两
丙为五两七两对减之二两各三倍之为丁戊己己即出七两所盈之六两己与戊或与丁之比例必若丙与乙或与甲也丁与甲戊与乙之比例必皆若己与丙也法以五两乗盈六两以对减所
余之二两除之者借
丙与己之比例因乙
以求戊也戊即物价
倍数则人数也
二则
朒适足
设贵贱二物贵价七两贱价五两以银买贵物朒六两买贱物适足求物数银数法曰列贵价
七两朒六两于右列贱价
五两于左以左上乗右下
【得三十两】为银实右下六两
为物实另以左上右上
对减【余二两】为法以法除
银实得一十五两为银数以法除物实得三为物数
解曰甲为贱价乙为贵价丙为两价之较丁为贱物之共价即银数也戊为贵物之共价己则
两共价之较也丁与
甲戊与乙之比例皆
若己与丙此借丙与
己之比例因甲以求
丁也既得丁而戊不
待言矣
三则
两盈
设有银七人分之盈二两五人分之盈八两求共银及分银数法曰列七人盈二两于右列五人盈八两于左先以右上乗左下【得五十六两】次以左上乗右下【得十两】两数对减【余四十六两】为共银实又以左下右下对减【余六两】为分银实另以左上右上对减【余二】为法以法除
共银实得二十三两为共
银数以法除分银实得三
两为每人分银数
解曰七人分之盈二两是
七倍三两朒于共银之数
以五人乗之则是三十五倍三两朒于五倍共银之数也又五人分之盈八两是五倍三两朒于共银之数以七人乗之则是三十五倍三两朒于七倍共银之数也今以三十五倍三两朒于五倍共银之数【即一十两】减三十五倍三两朒于七倍共银之数【即五十六两】所余必二倍共银之数矣故以五七对减之二为法除之即得共银也以法除分银实得分银数与前二则除人实物实得人数物数同
四则
两朒
设有银每人分七两朒八两每人分五两朒二两求人及银数法曰列分七两朒八两于右列分五两朒二两于左先以右上乗左下【得十四两】次以左上乗右下
【得四十两】两数相减【余二十六两】为
银实又以左下右下对减
【余六两】为人实另以左上右
上对减【余二两】为法以法除
银实得一十三两为银数
以法除人实得三为人数
解曰以五两乗朒八两得四十两为三十五倍三两盈于五倍共银之数以七两乘朒二两得一十四两为三十五倍三两盈于七倍共银之数相减之余必为二倍共银之数故以法除之得银数余同前解五则
一盈一朒
设木不知高以索五折比之木朒二尺七折比之木盈三尺求木高及索长法曰以五折因朒二尺得十
尺以七折因盈三尺得二
十一尺列五折朒十尺于
右列七折盈二十一尺于
左先以右上乘左下【得一百零
五尺】次以左上乗右下【得七十尺】
两数并【共一百七十五尺】为索实又并左下右下【共三十尺】为木实另以左上右上对减【余二折】为法以法除索实得八十七尺五寸为索长以法除木实得一十五尺五寸为木高
觧曰同此一索或为七折或为五折必五折长而七折短也虽不知每折之度而每五长折之盈于五短折者必二短折每七短折之朒于七长折者必二长折今长折盈于木高二尺【木朒于索是索盈于木也】五长折盈于五倍木高必十尺以七乗十尺则为三十五长折盈于三十五倍木高之度短折朒于木高三尺【木盈于索是索朒于木也】七短折朒于七倍木高必二十一尺以五乘二十一尺则为三十五短折朒于三十五倍木高之度两数并【即一百七十五尺为索实者】则三十五长折盈于三十五短折之度矣然三十五长折盈于三十五短折者即七倍五长折盈于七倍五短折之度亦即五倍七短折朒于五倍七长折之度也五倍七短折之朒于五倍七长折者十长折之度也七倍五长折之盈于七倍五短折者十四短折之度也十四短折为索之倍长十长折亦索之倍长也故以五七对减之二除之得索长余同前解
六则
带分子母盈适足【朒适足同】
设物以银三分之二买之盈五两以银二分之一买之适足求物价银数法曰列母三子二盈五两于右列母二子一于左先以右上乘左中得三两即以三两乘右下【得一十五两】为物实又以两母相乗得六两即
以六两乗右下【得三
十两】为银实又以左
上乗右中【得四两】与
左中得数相减【余一
两】为法以法除物
实仍得一十五两为物价以法除银实仍得三十两为银数
解曰以两母相乗得六两取两母之齐数也【六两为二倍三两亦三倍二两也】右母乗左子得三两即六两二分之一也左母乗右子得四两即六两三分之二也以六两三分之二之四两与六两二分之一之三两较相差止一两今三分之二盈五两二分之一适足是元银三分之二与元银二分之一较则相差五两矣以相差之五两与相差之一两较为五倍之比例因知元银之与六两物价之与三两必皆为五倍之比例法以六两乗五两以一两除之者是借一两与五两之比例因六两以求元银也以三两乗五两以一两除之者亦借一两与五两之比例因三两以求物价也七则
带分子母两盈【两朒同】
设物以银四分之三买之盈七两五钱以银六分之四买之盈五两求物价银数法曰列母四子三盈七两五钱于右列母六子四盈五两于左先以右上乘
左中得一十六两
即以一十六两乗
右下【得一百二十两】次以
左上乗右中得一
十八两即以一十
八两乗左下【得九十两】两数相减【余三十两】为物实又以两母相乗得二十四两以二十四两乗右下【得一百八十两】以二十四两乗左下【得一百二十两】两数相减【余六十两】为银实另以左中右中两得数相减【余二两】为法以法除物实得一十五两为物价以法除银实得三十两为银数解曰二十四两为两母之齐数左中得十六两为二十四两六分之四右中得十八两为二十四两四分之三两数相差二两今盈五两与盈七两五钱较则差二两五钱是二十四两与元银之比例必若二两与二两五钱矣以二十四两乗两下对减为银实以法除之亦借比例法也【先乗后相减与先减后乗得数同】又求物实本当以元银六分之四乗右下四分之三乗左下然尚未得两率之数不得不借与两率比例等者用之与两率之比例等者乃二十四两六分之四之十六与四分之三之十八也故以之互乗两下左得九十两为一十八倍元银六分之四盈于一十八倍物价之数右得一百二十两为一十六倍元银四分之三盈于一十六倍物价之数而一十六倍四分之三与一十八倍六分之四两数实等是以对减之余即为二倍物价也故以十六十八对减之二除之得物价八则
带分子母一盈一朒
设物以银十二分之七买之盈二两五钱以银六分之二买之朒五两求物价银数法曰列母十二子七盈二两五钱于右列母六子二朒五两于左先以右上乗左中得二十四两即以二十四两乗右下【得六十两】
次以左上乗右中
得四十二两即以
四十二两乗左下
【得二百一十两】两数并【共二
百七十两】为物实又以
两母相乗得七十二两以七十二两乗左下【得三百六十两】以七十二两乗右下【得一百八十两】两数并【共五百四十两】为银实另以左中右中两得数相减【余一十八两】为法以法除物实得一十五两为物价以法除银实得三十两为银数
解曰七十二两为两母之齐数二十四两为七十二两六分之二四十二两为七十二两十二分之七两数相差十八两并盈朒两数共七两五钱【一盈一朒相并犹两盈两朒相减也】为元银十二分之七与六分之二相差之数是七十二两与元银之比例必若十八两之与七两五钱矣以七十二两乗两下相并为银实以十八除之亦借比例法也【解同前】又求物实以四十二两乗左下得二百一十两为四十二倍六分之二朒于四十二倍物价之数以二十四两乗右下得六十两为二十四倍十二分之七盈于二十四倍物价之数然四十二倍六分之二实与二十四倍十二分之七等今并六十两与二百一十两共二百七十两必四十二倍物价盈于二十四倍物价之数也四十二倍物价之盈于二十四倍物价者即十八倍物价故以十八为法除之得物价○又法以左中得数二十四两乗左下得数二百一十两得五千零四十两以右中得数四十二两乗右下得数六十两得二千五百二十两并两数共七千五百六十两另以两子二七相乗得一十四两除之得五百四十两为银实以前法十八除之得数同○左下先以四十二乗之又以二十四乗之右下先以二十四乗之又以四十二乗之犹以二十四与四十二相乗得一千零八以乗之也以一千零八乗之又以两中相乗得一十四除之犹以一十四除一千零八得七十二以乗之也前法元以两母相乗得七十二以乗两下得数相并为银实与后法无异故得数同也
数学钥卷五下之上
六卷。清杜知耕(生卒年不详)撰。杜知耕字端甫,号伯瞿,河南柘城人,自幼好学,熟读天文历算书。康熙二十六年 (1687) 举人。1681年著《数学钥》,1700年著 《几何论约》,均收入 《四库全书》。《数学钥》以 《九章算术》章目为序,按线、面、体三部之法隶之,用通俗语言与直观图形诠释《九章》,体例与《九章》相同。该书每卷之首标注凡例,以实例问答形式阐述算法,辅以必要图形,以例引述,寓法于算,触类旁通,清晰易懂,且于每问之下附著其理,颇受西法影响。梅文鼎在《勿庵历算书记》中称:“杜端甫数学钥,图注九章,颇中肯启,可为算家程式。”该书版本除《四库》本外,有1681年杜氏式好堂刊本,现存北大图书馆;1898年上海算学书局石印本《古今算学丛书》本; 1916年开封荣兴斋石印本。