卷五下之下

钦定四库全书

数学钥卷五下之下

柘城杜知耕撰

方程

一则

二色方程

设稻三石菽二石共价银八两二钱四分又稻四石菽五石共价银一十二两二钱求二色价法曰列稻三石菽二石价八两二钱四分于右列稻四石菽五

石价一十二两二

钱于左先以右稻

遍乗左行【菽得一十五石

价得三十六两六钱】次以左

稻遍乗右行【菽得八石】

【价得三十二两九钱六分】以两价得数对减【余三两六钱四分】为实以两菽得数相减【余七石】为法除之得五钱二分为菽每石价以右行菽二石因之【或用左行菽五石亦可】得一两零四分为菽二石价以减右共价余七两二钱为稻三石价以稻三石归之得二两四钱为稻每石价

解曰欲得稻菽二色价须先求菽一色价欲求菽一色价须先减去稻数及稻价欲减去稻数及稻价必先齐两行稻数稻价而使之等今左价一十二两二钱为稻四石菽五石之共价以右稻三石遍乗之价得三十六两六钱是三倍元价矣既三倍元价则必为三倍稻数十二石三倍菽数十五石之共价右价八两二钱四分为稻三石菽二石之共价以左稻四石遍乗之价得三十二两九钱六分是四倍元价矣既四倍元价则必为四倍稻数十二石四倍菽数八石之共价两行稻数既各十二石是稻数齐矣稻数齐而稻价因之亦齐矣于稻十二石菽十五石价内减去稻十二石菽八石之价所余非菽七石之价而何故以两菽对减之七石除之得菽价菽价既得求稻价不须解矣○如欲先得稻价则列两菽数于两稻数之上以右菽二石遍乗左行以左菽五石遍乗右行两价得数相减余十六两八钱为实两稻得数对减余七石为法除之得稻价此与前法同

前齐稻数故先得

菽价此齐菽数故

先得稻价也○前

稻数齐以十二石

后菽数齐以十石

法中不曽明言十二石十石乃暗用数也后仿此二则

三色方程一法

设稻五石麦七石菽四石共价银二十六两六钱八分又稻四石麦二石菽三石共价银一十四两七钱六分又稻七石麦五石菽七石共价银二十九两四

钱四分求

三色价前

法曰列稻

五石麦七

石菽四石

价二十六

两六钱八

分于左列稻四石麦二石菽三石价一十四两七钱六分于中列稻七石麦五石菽七石价二十九两四钱四分于左先以中稻四石遍乗右行【麦得二十八石菽得一十六石价得一百零六两七钱二分】以右稻五石遍乗中行【麦得一十石菽得一十五石价得七十三两八钱】两行对减麦余一十八石菽余一石价余三十二两九钱二分次以中稻四石遍乗左行【麦得二十石菽得二十八石价得一百一十七两七钱六分】以左稻七石遍乗中行【麦得一十四石菽得二十一石价得一百零三两三钱二分】两行对减麦余六石菽余七石价余一十四两四钱四分

解曰二色方程减去一色即得余一色之价三色方程必减去二色方得一色之价然无一算并减二色之法故前法互乗对减先减去一色也

后法曰列余麦一十八石余菽一石余价三十二两九钱二分于右列余麦六石余菽七石余价一十四两四钱四分于左先以右麦一十八石遍乗左行【菽得一百二十六石价得二百五十九两九钱二分】次以左麦六石遍乗右行【菽得六石价得一百九十七两五钱二分】以两价得数对减【余六十二两四钱】为实以两菽得数对减【余一百二十石】为法除之得五钱二分为

菽价以左菽七石

因之【得三两六钱四分】以

减左价【余十两零八钱】以

左麦六石除之得

一两八钱为麦价

取前图中行麦二石因麦价【得三两六钱】菽三石因菽价【得一两五钱六分】并两数【共五两一钱六分】减中价【余九两六钱】以中稻四石除之得二两四钱为稻价

解曰减去稻数稻价余麦菽二色故用二色方程法得菽价

三则

三色方程二法

设稻五石麦七石菽四石共价银二十六两六钱八

分又稻四

石麦二石

菽三石共

价银一十

四两七钱

六分又麦五石菽七石共价银一十二两六钱四分求三色价前法曰列稻五石麦七石菽四石价二十六两六钱八分于右列稻四石麦二石菽三石价一十四两七钱六分于左先以右稻五石遍乗左行【麦得十石菽得一十五石价得七十三两八钱】次以左稻四石遍乗右行【麦得二十八石菽得一十六石价得一百零六两七钱二分】两行对减麦余一十八石菽余一石价余三十二两九钱二分

解曰麦五石菽七石价十二两六钱四分不与两行并列何也葢前法元为减去稻价稻数取麦菽二色今此率本无稻数稻价故直与余麦余菽余价并列为后法也

后法曰列麦五石菽七石价一十二两六钱四分于右列余麦一十八石余菽一石余价三十二两九钱

二分于左先以右

麦五石遍乗左行

【菽得五石价得一百六十四两六钱】次以左麦一十八

石遍乗右行【菽得一百】

【二十六石价得二百二十七两五钱二分】以两价得数相减【余六十二两九钱二分】为实以两菽得数对减【余一百二十一石】为法除之得五钱二分为菽价【求麦价稻价同前】

四则

正负同异加减一法

设麦七石稷五石共价银一十六两二钱五分今以麦二石増银二两二钱四分换稷八石求二色价法曰列正麦七石正稷五石正价一十六两二钱五分于右列负麦二石正稷八石正价二两二钱四分于

左先以右正麦七

石遍乗左行【稷得五十

六石价得一十五两六钱八分】次

以左负麦二石遍

乗右行【稷得十石价得三十】

【二两五钱】两价得数同名相加【共四十八两一钱八分】为实两稷得数同名相加【共六十六石】为法除之得七钱三分为稷价【求麦价同一则】

解曰左行价二两二钱四分増二石麦价方与稷八石之价等麦二石乃倒欠之数故谓之负余皆谓之正者所以别于负也左右两麦相乘各得一十四石为正负之齐数以负麦遍乗右行价得三十二两五钱为麦一十四石稷十石之共价以正麦遍乗左行价得一十五两六钱八分尚欠一十四石麦价不足稷五十六石之价若将右行麦一十四石之价移于左行则右银必为稷十石之价左银必为稷五十六石之价故并之为稷六十六石之价○以正加正以负加负谓之同名相加以正减正以负减负谓之同名相减以正加负以负加正谓之异名相加以正减负以负减正谓之异名相减

五则

正负同异加减二法

设稻四石黍七石共价银一十五两五钱五分今以黍三石増银九两四钱五分换稻五石求二色价法曰列正稻四石正黍七石正价一十五两五钱五分于右列正稻五石负黍三石正价九两四钱五分于左先以右正稻四石遍乗左行【黍得一十二石价得三十七两八钱】次

以左正稻五石遍

乗右行【黍得三十五石价得

七十七两七钱五分】两价得

数同名相减【余三十九

两九钱五分】为实两黍

得数异名相加【共四十七石】为法除之得八钱五分为黍价【求稻价同一则】

解曰以右稻遍乗左行价得三十七两八钱尚欠一十二石黍价不足稻二十石之价以左稻遍乗右行价得七十七两七钱五分为稻二十石黍三十五石之共价若以稻二十石全价减之必余黍三十五石之价今以左行尚欠一十二石黍价不足稻二十石之价减之故余四十七石黍价也

六则

正负同异加减三法

设麦五石稷八石共价银一十四两八钱四分又麦四石黍二石共价银八两九钱又黍五石稷三石共价银六两四钱四分求三色价前法曰列麦五石黍

空稷八石

价一十四

两八钱四

分于右列

麦四石黍

二石稷空价八两九钱于左先以右麦五石遍乗左行【黍得十石价得四十四两五钱】次以左麦四石遍乗右行【稷得三十二石价得五十九两三钱六分】两行对减右行黍空取左黍十石为本位负数左行稷空右稷无减仍得三十二石价余一十四两八钱六分

解曰以右麦遍乗左行价得四十四两五钱为麦二十石黍十石之共价以左麦遍乗右行价得五十九两三钱六分为麦二十石稷三十二石之共价两价对减必余右稷三十二石与左黍十石两价相差之数于右立负黍十石者谓余价一十四两八钱六分再増黍十石之价方足稷三十二石之价犹以黍十石増银一十四两八钱六分换稷三十二石也或问右行黍空左行稷空不立负于左而必立负于右者何也葢前法原于多内减少以取二色之价今右稷三十二石价多于左黍十石价若于左立负稷亦须立负价矣是以立负于右而不立于左也

后法曰列正黍五石正稷三石正价六两四钱四分

于右列余负黍十

石余正稷三十二

石余正价一十四

两八钱六分于左

先以右正黍五石

遍乗左行【稷得一百六十石价得七十四两三钱】次以左负黍十石遍乗右行【稷得三十石价得六十四两四钱】两价得数同名相加【共一百三十八两七钱】为实两稷得数同名相加【共一百九十石】为法除之得七两三钱为稷价【求麦价黍价同二则】

解曰后法同四则

七则

正负同异加减四法

设麦四石黍五石价银一十一两四钱五分又麦五石稷二石价银一十两零四钱六分又黍四石稷七

石价银八

两五钱一

分求三色

价前法曰

列麦四石

黍五石稷空价一十一两四钱五分于右列麦五石黍空稷二石价一十两零四钱六分于左先以右麦四石遍乗左行【稷得八石价得四十一两八钱四分】次以左麦五石遍乗右行【黍得二十五石价得五十七两二钱五分】两行对减左行黍空右黍无减仍得二十五石右行稷空取左稷八石为本位负数价余一十五两四钱一分

解曰右价得五十七两二钱五分为麦二十石黍二十五石之共价左价得四十一两八钱四分为麦二十石稷八石之共价两价对减余一十五两四钱一分即二十五石黍价多于八石稷价之数是以余银并八石稷价方足黍二十五石之价故立负稷八石也余同前则

后法曰列正黍四石正稷七石正价八两五钱一分

于右列余正黍二

十五石余负稷八

石余正价一十五

两四钱一分于左

先以右正黍四石

遍乗左行【稷得三十二石价得六十一两六钱四分】次以左正黍二十五石遍乗右行【稷得一百七十五石价得二百一十二两七钱五分】两价得数同名相减【余一百五十一两一钱一分】为实两稷得数异名相加【共二百零七石】为法除之得七钱三分为稷价【求黍价麦价同二则】解曰后法同五则

八则

正负同异加减五法

设以稷七石増银四两零七分换麦二石粟九石又以麦三石换稷四石粟四石适平又以麦一石稷一石増银四两九钱一分换粟一十二石求三色价前法曰列正麦二石负稷七石正粟九石正价四两零七分于右列负麦三石正稷四石正粟四石价空于中列负麦一石负稷一石正粟一十二石正价四两

九钱一分

于左先以

右正麦二

石遍乗中

行【稷得八石粟得

八石价空】以中

负麦三石

遍乗右行【稷得二十一石粟得二十七石价得一十二两二钱一分】两稷得数异名相减余一十三石两粟得数同名相加共三十五石中价空无加仍得一十二两二钱一分

解曰右价得一十二两二钱一分是尚欠稷二十一石价不足麦六石粟二十七石之价中价空是稷八石粟八石适等于麦六石之价若减右麦六石即以稷粟各八石补之其价不须増减必相均平矣然右稷乃倒欠之数不可相加故减之减倒欠犹之加正数也

次以左负麦一石遍乗中行【稷仍得四石粟仍得四石价空】以中负麦三石遍乗左行【稷得三石粟得三十六石价得一十四两七钱三分】两稷得数异名相加共七石两粟得数同名相减余三十二石中价空无减仍得一十四两七钱三分

解曰左价得一十四两七钱三分是尚欠麦稷各三石价不足粟三十六石之价中价空是麦三石适等于稷粟各四石之价若减左负麦三石复减正稷正粟各四石其价不须増减必相均平然左非正稷乃倒欠之数不可相减故加之加倒欠犹之减正数也后法曰列余负稷一十三石余正粟三十五石余正价一十二两二钱一分于右列余负稷七石余正粟

三十二石余正价

一十四两七钱三

分于左先以右负

稷一十三石遍乗

左行【粟得四百一十六石价得】

【一百九十一两四钱九分】次以左负稷七石遍乗右行【粟得二百四十五石价得八十五两四钱七分】两价得数同名相减【余一百零六而零二分】为实两粟得数同名相减【余一百七十一石】为法除之得六钱二分为粟价【求麦价稷价同二则】

解曰两稷皆负两粟两价皆正左右相等故法同二色方程

九则

四色方程

设稻一石麦五石黍三石稷七石共价银一十九两零六分又稻八石麦四石黍七石稷六石共价银三十六两七钱三分又稻三石麦二石黍五石稷七石共价银二十两零一钱六分又稻四石麦二石黍六石稷四石共价银二十一两二钱二分求四色价前

法曰列稻一石麦五石黍三石稷七石价一十九两零六分于右列稻八石麦四石黍七石稷六石价三十六两七钱三分于次右列稻三石麦二石黍五石稷七石价二十两零一钱六分于次左列稻四石麦二石黍六石稷四石价二十一两二钱二分于左先以右稻一石遍乗次右行【仍得元数】以次右稻八石遍乗右行【麦得四十石黍得二十四石稷得五十六石价得一百五十二两四钱八分】两行对减麦余三十六石黍余一十七石稷余五十石价余一百一十五两七钱五分次以次右稻八石遍乗次左行【麦得十六石黍得四十石稷得五十六石价得一百六十一两二钱八分】以次左稻三石遍乗次右行【麦得十二石黍得二十一石稷得十八石价得一百一十两零一钱九分】两行对减麦余四石黍余一十九石稷余三十八石价余五十一两零九分末以次左稻三石遍乗左行【麦得六石黍得一十八石稷得一十二石价得六十三两六钱六分】以左稻四石遍乗次左行【麦得八石黍得二十石稷得二十八石价得八十两零六钱四分】两行对减麦余二石黍余二石稷余一十六石价余一十六两九钱八分

解曰前法减稻一色余麦黍稷三色

次法曰列余麦三十六石余黍一十七石余稷五十石余价一百一十五两七钱五分于右列余麦四石余黍一十九石余稷三十八石余价五十一两零九分于中列余麦二石余黍二石余稷一十六石余价一十六两九钱八分于左先以右麦三十六石遍乗中行【黍得六百八十四石稷得一千三百六十八石价得一千八百三十九两二钱四分】以中麦四石遍乗右行【黍得六十八石稷得二百石价得四百六十三两】两行对减黍余六百一十六石稷余一千一百六十八石价余一千三百七十六两二钱四分次以中麦四石遍

乗左行【黍得

八石稷得六十四石

价得六十七两九钱

二分】以左麦

二石遍乗

中行【黍得三十

八石稷得七十六石】

【价得一百零二两一钱八分】两行对减黍余三十石稷余一十二石价余三十四两二钱六分

觧曰次法减麦一色余黍稷二色

后法曰列余黍六百一十六石余稷一千一百六十八石余价一千三百七十六两二钱四分于右列余黍三十石余稷一十二石余价三十四两二

钱六分于左以右

黍六百一十六石

遍乗左行【稷得七千三百

九十二石价得二万一千一百零四

两一钱六分】以左黍三

十石遍乗右行【稷得三万五千零四十石价得四万一千二百八十七两二钱】两价得数对减【余二万零一百八十三两零四分】为实两稷得数对减【余二万七千六百四十八石】为法除之得七钱三分为稷价【求黍麦稻价同二则】

解曰后法同二色方程五色六色以上仿此○按方程之要在加减加减之闗键在首位【谓第一横行】首位同名则异名相加同名相减首位异名则同名相加异名相减然大略如是亦有不尽然者有应减者无可减而反加之有应加者无可加而反减之变化无穷【数学钥卷五下之下】

亦存乎人之自悟耳

六卷。清杜知耕(生卒年不详)撰。杜知耕字端甫,号伯瞿,河南柘城人,自幼好学,熟读天文历算书。康熙二十六年 (1687) 举人。1681年著《数学钥》,1700年著 《几何论约》,均收入 《四库全书》。《数学钥》以 《九章算术》章目为序,按线、面、体三部之法隶之,用通俗语言与直观图形诠释《九章》,体例与《九章》相同。该书每卷之首标注凡例,以实例问答形式阐述算法,辅以必要图形,以例引述,寓法于算,触类旁通,清晰易懂,且于每问之下附著其理,颇受西法影响。梅文鼎在《勿庵历算书记》中称:“杜端甫数学钥,图注九章,颇中肯启,可为算家程式。”该书版本除《四库》本外,有1681年杜氏式好堂刊本,现存北大图书馆;1898年上海算学书局石印本《古今算学丛书》本; 1916年开封荣兴斋石印本。